I "y लैम्प पोस्ट और उसकी छायासे कौन- सा त्रिभुज बन रहा है? समबाहु त्रिभुज Dअधिक कोण न्यूजकोण समकोण त्रिभुज पी
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समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएं समान होती हैं।
सभी अंतः कोण समान होते है।
किसी भी भुजा का लम्बार्द्धक सम्मुख कोण को समद्विभाजित करता है।
किसी भी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लम्ब उस भुजा को समद्विभाजित करता है।
समबाहु त्रिभुज का केन्द्रक (सेन्ट्रॉड), अन्तःकेन्द्र incentre), परिकेन्द्र (circumcenter), लम्बकेन्द्र (orthocentre) सब एक ही बिन्दु पर होते हैं।
प्रमुख सूत्र संपादित करें
माना कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई a है, बौधायन प्रमेय का उपयोग करने पर हमे निम्न मान प्राप्त होते हैं:
क्षेत्रफल {\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}
परिमाप {\displaystyle p=3a\,\!}{\displaystyle p=3a\,\!}
परिवृत्त की त्रिज्या {\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}{\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}
अंतर्वृत्त की त्रिज्या {\displaystyle r={\frac {a}{{2}{\sqrt {3}}}}}{\displaystyle r={\frac {a}{{2}{\sqrt {3}}}}}
त्रिभुज का ज्यामितिय केन्द्र (केन्द्रक) परिवृत्त और अंतर्वृत्त का केन्द्र होगा।
तथा किसी भी दिशा से लम्ब (ऊँचाई) का मान {\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a} होगा।
समबाहु त्रिभुज में लम्ब, कोण समद्विभाजक, भुज समद्विभाजक और माध्यिकाएं सभी सन्निपतित होते हैं।
निस्र्पण (वर्णन) संपादित करें
त्रिभुज ABC जिसकी भुजाएं क्रमश a, b, c, हैं अर्द्धपरिमाप s है, क्षेत्रफल T, अंतर्वृत्त और परिवृत्त की त्रिज्याएँ क्रमशः ra, rb, rc (क्रमशः a, b, c के स्पर्शिय) हैं, तथा जहाँ R व r क्रमशः परिवृत्त और अंतर्वृत्त की त्रिज्याएँ हैं समबाहु होगा यदि और केवल यदि निम्न आठ कथनों में से कम से कम एक सत्य है। ये सभी समबाहु त्रिभुज के गुणधर्म भी हैं।
भुजा संपादित करें
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca.}{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca.}[1]
{\displaystyle \displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\quad {\text{(Lehmus)}}}{\displaystyle \displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\quad {\text{(Lehmus)}}}[2]
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}.}{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}.}[3]
अर्द्धपरिमाप संपादित करें
{\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}{\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}[4]
{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr.}{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr.}[5]
{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T.}{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T.}[6]
{\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}{\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}
{\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}{\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}
कोण संपादित करें
{\displaystyle \displaystyle A=B=C}{\displaystyle \displaystyle A=B=C}
{\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}{\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}
{\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}.}{\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}.}[2]
क्षेत्रफल संपादित करें
{\displaystyle \displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad {\text{(Weizenbock)}}}{\displaystyle \displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad {\text{(Weizenbock)}}}[7]
{\displaystyle \displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}.}{\displaystyle \displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}.}[6]
परिवृत्त, अंतर्वृत और परित्रिज्याएँ संपादित करें
{\displaystyle \displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}}{\displaystyle \displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}}[1]
{\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.}{\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.}[1]
{\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}.}{\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}.}[2]
{\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}.}{\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}.}
समान प्रतिच्छेदी संपादित करें
त्रिभुज में तीन प्रकार की प्रतिच्छेदी रेखायें होती हैं जो समबाहु त्रिभुज में समान होती हैं।[8]
तीनों ऊँचाइयाँ समान लम्बाई की है।
तीनों माध्यिकाओं की लम्बाई समान होती है।
तीनों कोण समद्विभाजकों की लम्बाई समान होती है।
अंतर्वृत्त त्रिभुज का केन्द्र संपादित करें
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक त्रिभुज केन्द्र इसके केन्द्रक के साथ सन्निपतित होता हैं और कुछ त्रिभुज केन्द्रों के सन्निपतित होना इसकी उपपत्ति के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज समबाहु है। विशेष रूप से यदि परिवृत्त केन्द्र, अंतर्वृत्त केन्द्र, केन्द्रक, लम्ब केन्द्र आदि में से कोई दो सन्निपतित होते हैं तो वह त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।[9][1]
माध्यिकाओं के विभाजन से निर्मित त्रिभुज संपादित करें
किसी भी त्रिभुज के लिए, तीनों माध्यिकाओं के विभाजन से छः छोटे त्रिभुज बनते हैं।
एक त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि तीन छोटे त्रिभुज या तो समान परिमाप रखते हैं अथवा समान अंतर्वृत्त त्रि