Question

(i) यदि $A = \begin{bmatrix} cos α & sin α \\ -sin α & cos α \end{bmatrix}$ हो तो सत्यापित कीजिए कि A’ A = I

Answer 1

Given :  A  =   $\begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha\\ -sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$

To find :  सत्यापित कीजिए कि A’ A = I

Solution:

यदि  A  =   $\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ m * n

तो     A'   = $\begin{bmatrix} a_{ji} \end{bmatrix}$ n * m

 A  =   $\begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha\\ -sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$

 

A' =  $\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha\\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$

A’ A = I

=> LHS = A' A  

=   $\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha\\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$   $\begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha\\ -sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}$

=  $\begin{bmatrix} cos^2\alpha + sin^2\alpha&cos\alpha sin\alpha - cos\alpha sin\alpha \\ cos\alpha sin\alpha - cos\alpha sin\alpha & sin^2\alpha + cos^2\alpha\end{bmatrix}$

cos²α + sin²α = 1

=  $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}$

= I

= RHS

QED

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