Question

If 1,w,w2 are the cube roots of unity then (x+y+z)(x+yw+zw2)(z+yw2+zw)=

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\mathsf{1,w,w^2}\;\textsf{are cube roots of unity}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\mathsf{(x+y+z)\,(x+yw+zw^2)(x+yw^2+zw)}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{since}\,\mathsf{1,w,w^2}\;\textsf{are cube roots of unity, we have}$

$\mathsf{1+w+w^2=0\;\;\&\;\;w^3=1}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{(x+y+z)\,(x+y\,w+z\,w^2)(x+y\,w^2+z\,w)}$

$\mathsf{=(x+y+z)\,(x^2+xy\,w^2+xz\,w+xy\,w+y^2\,w^3+yz\,w^2+xz\,w^2+yz\,w^4+z^2\,w^3)}$

$\textsf{Using,}\;\;\boxed{\mathsf{w^3=1}}$

$\mathsf{=(x+y+z)\,(x^2+xy\,w^2+xz\,w+xy\,w+y^2+yz\,w^2+xz\,w^2+yz\,w+z^2)}$

$\mathsf{=(x+y+z)\,(x^2+y^2+z^2+xy(w+w^2)+yz(w+w^2)+zx(w+w^2))}$

$\textsf{using,}\;\;\boxed{\mathsf{1+w+w^2=0\implies\;w+w^2=-1}}$

$\mathsf{=(x+y+z)\,(x^2+y^2+z^2+xy(-1)+yz(-1)+zx(-1))}$

$\mathsf{=(x+y+z)\,(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$

$\mathsf{=x^3+y^3+z^3-3\,xyz}$

$\underline{\textsf{Answer:}}$

$\mathsf{(x+y+z)\,(x+yw+zw^2)(x+yw^2+zw)=x^3+y^3+z^3-3\,xyz}$

Find more:

X=a+b y=aw+bw^2 z=aw+bw^2 omega is cube root of unity calculate xyz

https://brainly.in/question/3037570