Question

if 1st ,2nd and middle term of an AP are a,b and c find the sum of series is​

Answer 1

Let the AP has n terms.

Given :

$\mathsf {First \: term( T_{1}) \: = \: a }$

$\mathsf{Second \: term(T_{2}) \: = \: b }$

$\mathsf{Middle \: term \bigg( T_\frac{n}{2}\bigg) \: = \: c }$

And :

$\mathsf { Common \: difference ( d) \: = \: T_{2} \: - \: T_{2}}$

$\mathsf{ \therefore \quad d \: = \: b \: - \: a ...(1)}$

Now :

$\mathsf{ \implies \: T_{\frac{n}{2}} \: = \: a \: + \: ( \frac{n}{2}\: - \: 1)d }$

$\mathsf{ Put \: the \: value \: of \: (1),}$

$\mathsf{\implies \: c \: = \: a \: + \: \bigg( \dfrac{n \: - \: 2}{2} \bigg)( b \: - \:a)}$

$\mathsf{\implies \: c \: - \: a \: = \: \bigg(\dfrac{n \: - \: 2}{2}\bigg)( b \: - \: a )}$

$\mathsf{\implies \: n \: - \: 2 \: = \: \dfrac{ 2(\: c \: - \: a \:)}{ \: b \: - \: a \:}}$

$\mathsf{\implies \: n \: = \: \dfrac{ \: c \: - \: a \:}{\: b \: - \: a \:} \: + \: 2}$

$\mathsf{\implies \: n \: = \: \dfrac{2( \: c \: - \: a )\: + \:2( b \: - \: a )\:}{\: b \: - \: a \: }}$

$\mathsf{\therefore \quad n \: = \: \dfrac{ 2(-2a \: + \: b \: + \: c) }{ \: b \: - \: a \: } ...(2)}$

Now :

$\mathsf{ \implies S_n \: = \: \dfrac{n}{2}[ 2a \: + \: ( n \: - \: 1)d]}$

$\mathsf{Put \: the \: value \: of \: (1) \: and \: (2),}$

$\mathsf{\implies S_n \: = \: \dfrac{2(-2a \: + \: b \: + \: c )}{ \: b \: - \: a \: } \cdot \dfrac{1}{2} \Bigg[ 2a \: + \: \Bigg( \dfrac{ 2(-2a \: + \: b \: + \: c )}{ \: b \: - \: a \: } \: - \: 1 \Bigg)( \: b \: - \: a )\Bigg]}$

$\mathsf{\implies S_n \: = \: \dfrac{-2a \: + \: b \: + \: c }{ \: b \: - \: a \: } \bigg[ 2a \: + \: \bigg( \dfrac{ -4a \: + \: 2b \: + \: 2c \: - \: b \: + \: a }{ \: b \: - \: a \: } \bigg)( \: b \: - \: a )\bigg]}$

$\mathsf{\implies S_n \: = \: \dfrac{ -2a \: + \: b \: + \: c}{ \: b \: - \: a \: } \bigg[ 2a \: + \: \bigg( \dfrac{-3a \: + \: b \: + \: 2c}{ \: b \: - \: a }\bigg) ( \: b \: - \: a)\bigg]}$

$\mathsf{\implies S_n \: = \: \dfrac{ -2a \: + \: b \: + \: c}{\: b \: - \: a \:} ( 2a \: + \: 2c \: - \: 3a \: + \: b )}$

$\mathsf{\therefore \: \: S_n \: = \: \dfrac{-2a \: + \: b \: + \: c }{ \: b \: - \: a } ( -a \: + \: b \: + \: 2c)}$