Question

If 2 and -2are the two zeros of the polynomial 2x4 -5x3 -11x2 +20x +12. Find all the zeros of the given polynomial

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{2 and -2 are the two zeros of the polynomial}$$\mathsf{2x^4-5x^3-11x^2+20x+12}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{All the zeroes of the given polynomial}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{Let the other two zeroes be m and n}$

$\mathsf{Then,}$

$\mathsf{Sum\;of\;zeroes=\dfrac{-b}{a}}$

$\mathsf{2+(-2)+m+n=\dfrac{-(-5)}{2}}$

$\mathsf{m+n=\dfrac{5}{2}}$ --------(1)

$\mathsf{Product\;of\;zeroes=\dfrac{e}{a}}$

$\mathsf{(2)(-2)(m)(n)=\dfrac{12}{2}}$

$\mathsf{-4mn=6}$

$\mathsf{mn=\dfrac{-6}{4}}$

$\mathsf{mn=\dfrac{-3}{2}}$--------(2)

$\textsf{Using (1) in (2), we get}$

$\mathsf{m\left(\dfrac{5}{2}-m\right)=\dfrac{-3}{2}}$

$\mathsf{\dfrac{5}{2}m-m^2=\dfrac{-3}{2}}$

$\mathsf{\dfrac{5}{2}m-m^2+\dfrac{3}{2}=0}$

$\mathsf{m^2-\dfrac{5}{2}m-\dfrac{3}{2}=0}$

$\mathsf{2m^2-5m-3=0}$

$\mathsf{2m^2-6m+m-3=0}$

$\mathsf{2m(m-3)+1(m-3)=0}$

$\mathsf{(2m+1)(m-3)=0}$

$\implies\mathsf{m=\dfrac{-1}{2},3}$

$\mathsf{when\,m=\dfrac{-1}{2},\;\;m\left(\dfrac{-1}{2}\right)=\dfrac{-3}{2}\;\implies\;n=3}$

$\mathsf{when\,m=3,\;\;m(3)=\dfrac{-3}{2}\;\implies\;n=\dfrac{-1}{2}}$

$\therefore\textbf{All the zeroes of the given polynnomial are}$

$\boxed{\mathsf{2,-2,\dfrac{-1}{2},3}}$