Question

if 2s=a+b+c prove that a(s-b)(s-c)+b(s-c)(s-a)+c(s-a)(s-b)+2(s-a)(s-b)(s-c)=abc

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$s=\dfrac{a+b+c}{2}$

$\textbf{To prove:}$

$a(s-b)(s-c)+b(s-c)(s-a)+c(s-a)(s-b)+2\,(s-a)(s-b)(s-c)=abc$

$\textbf{Solution:}$

$\text{Consider,}$

$a(s-b)(s-c)+b(s-c)(s-a)+c(s-a)(s-b)+2\,(s-a)(s-b)(s-c)$

$=a[s^2-(b+c)s+bc]+b[s^2-(c+a)s+ac]+c[s^2-(a+b)s+ab]+2[s^3-(a+b+c)s^2+(ab+bc+ca)s-abc]$

$=[as^2-(ab+ac)s+abc]+[bs^2-(bc+ab)s+abc]+[cs^2-(ac+bc)s+abc]+[2s^3-2(a+b+c)s^2+2(ab+bc+ca)s-2abc]$

$=(a+b+c)s^2-2(ab+bc+ac)s+3\,abc+2s^3-2(a+b+c)s^2+2(ab+bc+ca)s-2abc$

$=(a+b+c)s^2+3\,abc+2s^3-2(a+b+c)s^2-2abc$

$=2s^3-(a+b+c)s^2+abc$

$=2(\dfrac{a+b+c}{2})^3-(a+b+c)(\dfrac{a+b+c}{2})^2+abc$

$=2(\dfrac{(a+b+c)^3}{8})-\dfrac{(a+b+c)^3}{4}+abc$

$=\dfrac{(a+b+c)^3}{4}-\dfrac{(a+b+c)^3}{4}+abc$

$=abc$

$\implies\boxed{\bf\,a(s-b)(s-c)+b(s-c)(s-a)+c(s-a)(s-b)+2\,(s-a)(s-b)(s-c)=abc}$