Question

if 3+2i sin alpha / 1-2i sin alpha is ourely a real number, then find real alpha

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\mathsf{\dfrac{3+2i\,sin\alpha}{1-2i\,sin\alpha}\;is\;purely\;real}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\mathsf{The\;value\;of\;\alpha}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\mathsf{Since\;\dfrac{3+2i\,sin\alpha}{1-2i\,sin\alpha}\;is\;purely\;real,\;we\;have}$

$\mathsf{\dfrac{3+2i\,sin\alpha}{1-2i\,sin\alpha}=\overline{\left(\dfrac{3+2i\,sin\alpha}{1-2i\,sin\alpha}\right)}}$

$\mathsf{\dfrac{3+2i\,sin\alpha}{1-2i\,sin\alpha}=\dfrac{3-2i\,sin\alpha}{1+2i\,sin\alpha}}$

$\mathsf{(3+2i\,sin\alpha)(1+2i\,sin\alpha)=(3-2i\,sin\alpha)(1-2i\,sin\alpha)}$

$\mathsf{3+6i\,sin\alpha+2i\,sin\alpha+4\,i^2\,sin^2\alpha=3-6i\,sin\alpha-2i\,sin\alpha+4\,i^2\,sin^2\alpha}$

$\mathsf{8i\,sin\alpha=-8i\,sin\alpha}$

$\mathsf{16i\,sin\alpha=0}$

$\mathsf{sin\alpha=0}$

$\implies\mathsf{\alpha=n\,\pi\;\;\;n\,\in\,Z}$

$\underline{\textsf{Answer:}}$

$\mathsf{The\;real\;values\;of\;are\;n\,\pi\;\;where\;n\;is\;an\;integer}$