Question

if 3 f(x) -f(1/x) =log10 (x^4) x>0 then f(10^-x) is equal to​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{3\,f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)=log\,_{10}\,x^4}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\mathsf{f(10^{-x})}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{3\,f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)=log\,_{10}\,x^4}$-----(1)

$\textsf{Replace x by}\;\mathsf{\dfrac{1}{x}}$

$\mathsf{3\,f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f(x)=log\,_{10}\,\left(\dfrac{1}{x}\right)^4}$-----(2)

$\mathsf{(1){\times}3+(2)\implies}$

$\mathsf{9\,f(x)-3f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3\,log\,_{10}\,x^4}$

$\mathsf{3\,f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f(x)=log\,_{10}\,\left(\dfrac{1}{x}\right)^4}$

$\mathsf{9\,f(x)-f(x)=3\,log\,_{10}\,x^4+log\,_{10}\,\left(\dfrac{1}{x}\right)^4}$

$\mathsf{8\,f(x)=log\,_{10}\,(x^4)^3+log\,_{10}\,\left(\dfrac{1}{x^4}\right)}$

$\mathsf{8\,f(x)=log\,_{10}\,(x^{12})+log\,_{10}\,\left(\dfrac{1}{x^4}\right)}$

$\mathsf{8\,f(x)=log\,_{10}\,\left(x^{12}{\times}\dfrac{1}{x^4}\right)}$

$\mathsf{8\,f(x)=log\,_{10}\,x^8}$

$\mathsf{f(x)=\dfrac{1}{8}\;log\,_{10}\,x^8}$

$\mathsf{f(x)=log\,_{10}\,(x^8)^\dfrac{1}{8}}$

$\mathsf{f(x)=log\,_{10}\,x}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{f(10^{-x})=log\,_{10}\,10^{-x}}$

$\mathsf{f(10^{-x})=-x\;log\,_{10}\,10}$

$\mathsf{We\;know\;that,\;log\,_aa=1}$

$\implies\boxed{\mathsf{f(10^{-x})=-x}}$