Question

If A = [ 3 0 5 1 ] , B = [ −4 2 1 0 ] , find A^2 -2AB +B^2​

Answer 1

Given :

A = 3051

B = -4210

To find:

$=3051^2-2\left(3051\left(-4210\right)\right)+\left(-4210^2\right)$

Step by Step Explanation:

$3051^2-2\left(3051\left(-4210\right)\right)+\left(-4210^2\right)$

$\mathrm{Remove\:parentheses}:\quad \left(a\right)=a,\:-\left(-a\right)=a$

$=3051^2+2\cdot \:3051\cdot \:4210-4210^2$

$\mathrm{Multiply\:the\:numbers:}\:2\cdot \:3051\cdot \:4210=25689420$

$=3051^2+25689420-4210^2$

$3051^2=9308601$

$=9308601+25689420-4210^2$

$4210^2=17724100$

$=9308601+25689420-17724100$

$\mathrm{Add/Subtract\:the\:numbers:}\:9308601+25689420-17724100=17273921$

$=17273921$

$\mathrm{Hope\ It\ Helps\ You}\\\mathrm{Eva*}$

Answer 2

Question:

If $\displaystyle{\sf\:A\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:0\\\sf\:5 & \sf\:1\:\end{array}\right]\:,\:B\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:2\\\sf\:1 & \sf\:0\:\end{array}\right]}$, find A² - 2AB + B².

Answer:

$\displaystyle{\boxed{\red{\sf\:A^2\:-\:2\:AB\:+\:B^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:51 & \sf\:-\:20\\\sf\:54 & \sf\:-\:17\:\end{array}\right]}}}$

Step-by-step-explanation:

We have given two square matrices A & B of order 2.

We have to find A² - 2AB + B².

Now,

$\displaystyle{\sf\:A\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:0\\\sf\:5 & \sf\:1\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:A\:\times\:A}$

$\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:0\\\sf\:5 & \sf\:1\:\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:0\\\sf\:5 & \sf\:1\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:A^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:9\:+\:0 & \sf\:0\:+\:0\\\sf\:15\:+\:5 & \sf\:0\:+\:1\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\pink{\sf\:A^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:9 & \sf\:0\\\sf\:20 & \sf\:1\:\end{array}\right]}}$

Now,

$\displaystyle{\sf\:2\:AB\:=\:2\:\times\:A\:\times\:B}$

$\displaystyle{\implies\sf\:2\:AB\:=\:2\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:3 & \sf\:0\\\sf\:5 & \sf\:1\:\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:2\\\sf\:1 & \sf\:0\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:2\:AB\:=\:2\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:12\:+\:0 & \sf\:6\:+\:0\\\sf\:-\:20\:+\:1 & \sf\:10\:+\:0\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:2\:AB\:=\:2\:\times\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:12\:& \sf\:6\\\sf\:-\:19 & \sf\:10\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\blue{\sf\:2\:AB\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:24\:& \sf\:12\\\sf\:-\:38 & \sf\:20\:\end{array}\right]}}$

Now,

$\displaystyle{\sf\:B\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:2\\\sf\:1 & \sf\:0\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:B\:\times\:B}$

$\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:2\\\sf\:1 & \sf\:0\:\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:4 & \sf\:2\\\sf\:1 & \sf\:0\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:B^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:16\:+\:2 & \sf\:-\:8\:+\:0\\\sf\:-\:4\:+\:0 & \sf\:2\:+\:0\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\orange{\sf\:B^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:18 & \sf\:-\:8\\\sf\:-\:4 & \sf\:2\:\end{array}\right]}}$

Now,

$\displaystyle{\sf\:A^2\:-\:2\:AB\:+\:B^2}$

$\displaystyle{\implies\sf\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:9 & \sf\:0\\\sf\:20 & \sf\:1\:\end{array}\right]\:-\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:-\:24\:& \sf\:12\\\sf\:-\:38 & \sf\:20\:\end{array}\right]\:+\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:18 & \sf\:-\:8\\\sf\:-\:4 & \sf\:2\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:33 & \sf\:-\:12\\\sf\:58 & \sf\:-\:19\:\end{array}\right]\:+\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:18 & \sf\:-\:8\\\sf\:-\:4 & \sf\:2\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\implies\sf\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:51 & \sf\:-\:20\\\sf\:54 & \sf\:-\:17\:\end{array}\right]}$

$\displaystyle{\therefore\:\underline{\boxed{\red{\sf\:A^2\:-\:2\:AB\:+\:B^2\:=\:\left[\begin{array}{cc}\sf\:51 & \sf\:-\:20\\\sf\:54 & \sf\:-\:17\:\end{array}\right]}}}}$