Question

if a = 3 + root 5 /2 then find the value of a^2 + 1/a^2​

Answer 1

Given :-

• $\rm{a = 3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } }$

To find :-

• $\rm{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} }}$

Solution :-

First we see

$\rm{(a) {}^{2} + \bigg( \frac{1}{a} \bigg) {}^{2} = a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } }$

It becomes a formula

a² + b² = (a-b)2 + 2ab

$\small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \bigg(3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } - \frac{1}{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } \bigg)2 + 2 \bigg(3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } \times \frac{1}{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} }} \bigg)} \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{3 + \frac{5}{2} - 1 }{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } \times 2 + 2 \bigg( \cancel{ \frac{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } }{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } } \bigg)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{6 + \frac{10}{4} - 2}{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } + 2 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{ \frac{17}{2} - 2 }{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } + 2 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{ \frac{13}{2} }{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } } + 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{ \frac{13}{2} + 2( \cancel{3 + \frac{5}{2}}) }{ \cancel{3 + \sqrt{ \frac{5}{2} } }} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \frac{13}{2} + 2 } \\ \\ \\ \small\sf\longmapsto{a {}^{2} + \frac{1}{a {}^{2} } = \boxed{ \bf{ \red{\frac{17}{4}}}} } \: \: \:$

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