Question

If A = |(4,-2) (3,-5)| then express A as sum of a symmetric and skew symmetric matrix​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given matrix A,

$\rm :\longmapsto\:A = \begin{bmatrix} 4 & - 2\\ 3 & - 5\end{bmatrix}$

Now, we know,

$\rm :\longmapsto\:A = \dfrac{1}{2} \times 2A$

$\rm \:  = \: \dfrac{1}{2}\bigg[A + A\bigg]$

$\rm \:  = \: \dfrac{1}{2}\bigg[A + A + A' - A'\bigg]$

$\rm \:  = \: \dfrac{1}{2}\bigg[(A + A' ) + (A- A')\bigg]$

$\rm \:  =  \: \dfrac{1}{2}[A + A'] + \dfrac{1}{2}[A - A']$

Let assume that,

$\rm :\longmapsto\:A = P + Q$

where,

$\boxed{ \bf{ \:P = \frac{1}{2}[A + A']}}$

and

$\boxed{ \bf{ \:Q = \frac{1}{2}[A - A']}}$

Now,

$\rm :\longmapsto\:A = \begin{bmatrix} 4 & - 2\\ 3 & - 5\end{bmatrix}$

so,

$\rm :\longmapsto\:A' = \begin{bmatrix} 4 & 3\\ - 2 & - 5\end{bmatrix}$

So,

$\rm :\longmapsto\:A + A'$

$\rm \:  =  \: \begin{bmatrix} 4 & - 2\\ 3 & - 5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3\\ - 2 & - 5\end{bmatrix}$

$\rm \:  =  \: \begin{bmatrix} 8 & 1\\ 1 & - 10\end{bmatrix}$

So,

$\rm :\longmapsto\:P = \dfrac{1}{2}\bigg[A + A'\bigg]$

$\rm :\longmapsto\:P  =  \: \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 1\\ 1 & - 10\end{bmatrix}$

$\rm :\longmapsto\:P  =  \: \begin{bmatrix} 4 & \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} & -5\end{bmatrix}$

So,

$\rm :\longmapsto\:P'  =  \: \begin{bmatrix} 4 & \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} & -5\end{bmatrix}$

$\bf\implies \:P' = P$

$\bf\implies \:P \: is \: symmetric.$

Now, Consider,

$\rm :\longmapsto\:A - A'$

$\rm \:  =  \: \begin{bmatrix} 4 & - 2\\ 3 & - 5\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 3\\ - 2 & - 5\end{bmatrix}$

$\rm \:  =  \: \begin{bmatrix} 0 & - 5\\ 5 & 0\end{bmatrix}$

So,

$\rm :\longmapsto\:Q = \dfrac{1}{2}\bigg[A - A'\bigg]$

$\rm :\longmapsto\:Q=  \: \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & - 5\\ 5 & 0\end{bmatrix}$

$\rm :\longmapsto\:Q=  \: \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{5}{2} \\ \\ \dfrac{5}{2} & 0\end{bmatrix}$

So,

$\rm :\longmapsto\:Q'=  \: \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{2} \\ \\ - \dfrac{5}{2} & 0\end{bmatrix}$

$\rm :\longmapsto\:Q'=  \: - \: \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{5}{2} \\ \\ \dfrac{5}{2} & 0\end{bmatrix}$

$\bf\implies \:Q' = - \: Q$

$\bf\implies \:Q \: is \: skew \: symmetric$

Hence,

$\rm :\longmapsto\:P  =  \: \begin{bmatrix} 4 & \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} & -5\end{bmatrix}$

and

$\rm :\longmapsto\:Q=  \: \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{5}{2} \\ \\ \dfrac{5}{2} & 0\end{bmatrix}$

Therefore,

$\: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf{ \: \begin{bmatrix} 4 & \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} & -5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{5}{2} \\ \\ \dfrac{5}{2} & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & - 2\\ 3 & - 5\end{bmatrix}}}$