if A+B+C=180, prove that sin(B+2C) +sin(A+2B) +sin(C+2A)
Answers
Answer:
Step-by-step explanation:A
+
B
+
C
=
π
⇒
A
+
B
=
π
−
C
.
∴
A
+
2
B
=
(
A
+
B
)
+
B
=
(
π
−
C
)
+
B
=
π
−
(
C
−
B
)
.
∴
sin
(
A
+
2
B
)
=
sin
(
π
−
(
C
−
B
)
)
=
sin
(
C
−
B
)
.
Similarly,
sin
(
B
+
2
C
)
=
sin
(
A
−
C
)
,
and
,
sin
(
C
+
2
A
)
=
sin
(
B
−
A
)
.
∴
sin
(
A
+
2
B
)
+
sin
(
B
+
2
C
)
+
sin
(
C
+
2
A
)
,
=
sin
(
C
−
B
)
+
sin
(
A
−
C
)
+
sin
(
B
−
A
)
.
Let,
C
−
B
=
x
,
A
−
C
=
y
and
B
−
A
=
z
.
Then,
x
+
y
+
z
=
0
.
∴
x
+
y
=
−
z
...
...
(
1
)
and
z
=
−
(
x
+
y
)
...
...
(
2
)
.
The L.H.S.=
sin
x
+
sin
y
+
sin
z
,
=
2
sin
(
x
+
y
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
+
sin
z
,
=
2
sin
(
−
z
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
+
sin
z
,
...
...
...
...
[
∵
(
1
)
]
,
=
−
2
sin
(
z
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
+
2
sin
(
z
2
)
cos
(
z
2
)
,
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
[
∵
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
]
,
=
2
sin
(
z
2
)
{
cos
(
z
2
)
−
cos
(
x
−
y
2
)
}
,
=
2
sin
(
z
2
)
{
cos
(
−
x
+
y
2
)
−
cos
(
x
−
y
2
)
}
,
...
...
.
[
∵
(
2
)
]
,
=
2
sin
(
z
2
)
{
cos
(
x
+
y
2
)
−
cos
(
x
−
y
2
)
}
,
=
2
sin
(
z
2
)
{
−
2
sin
(
x
2
)
sin
(
y
2
)
}
,
=
−
4
sin
(
x
2
)
sin
(
y
2
)
sin
(
z
2
)
,
=
−
4
sin
(
C
−
B
2
)
sin
(
A
−
C
2
)
sin
(
B
−
A
2
)
,
=
−
4
sin
(
−
B
−
C
2
)
sin
(
−
C
−
A
2
)
sin
(
−
A
−
B
2
)
,
=
+
4
sin
(
B
−
C
2
)
sin
(
C
−
A
2
)
sin
(
A
−
B
2
)
,
=The R.H.S.
Enjoy Maths.!
make me as brainlist plz
