Question

If a+b+c=180 then prove:cosa-cosb+cosc=4cosa/2*sinb/2

Answer 1

Correct Question:-

If $a+b+c=180^o,$ prove that $\cos a-\cos b+\cos c=4\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{c}{2}\right)-1.$

Solution:-

We have,

• $\cos A+\cos B=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\quad\quad\dots(1)$

• $\cos(2A)=1-2\sin^2A\quad\quad\dots(2)$

• $\cos(90^o-A)=\sin A\quad\quad\dots(3)$

• $\sin(90^o-A)=\cos A\quad\quad\dots(4)$

Then,

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=\cos a+\cos c-\cos b$

Using (1),

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\cos \left(\dfrac{a+c}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-\cos b$

Using (2),

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\cos \left(\dfrac{a+c}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-\left[1-2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)\right]$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\cos \left(\dfrac{a+c}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-1+2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)$

But given that,

$\longrightarrow a+b+c=180^o$

$\longrightarrow a+c=180^o-b$

$\longrightarrow b=180^o-(a+c)$

Thus,

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\cos \left(\dfrac{180^o-b}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-1+2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\cos \left(90^o-\dfrac{b}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-1+2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)$

Using (3),

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)-1+2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)+2\sin^2\left(\dfrac{b}{2}\right)-1$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\left[\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\right]-1$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\left[\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{180^o-(a+c)}{2}\right)\right]-1$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\left[\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)+\sin\left(90^o-\dfrac{a+c}{2}\right)\right]-1$

Using (4),

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\left[\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\right]-1$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\left[\cos\left(\dfrac{a+c}{2}\right)+\cos \left(\dfrac{a-c}{2}\right)\right]-1$

Using (1),

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cdot2\cos\left(\dfrac{\frac{a+c}{2}+\frac{a-c}{2}}{2}\right)\cos \left(\dfrac{\frac{a+c}{2}-\frac{a-c}{2}}{2}\right)-1$

$\longrightarrow\cos a-\cos b+\cos c=2\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cdot2\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)\cos \left(\dfrac{c}{2}\right)-1$

$\longrightarrow\underline{\underline{\cos a-\cos b+\cos c=4\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)\cos \left(\dfrac{c}{2}\right)-1}}$

Hence Proved!

Answer 2

Answer:

plz Mark it as brainliest answer plzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz