Question

if a,b,c are in continued proportion and a(b-c) =2b prove that a-c= 2(a+b)/a

Answer 1

given a , b , c  are in continued proportion
⇒ a : b : : b : c  ⇒  a x c =  b x b
     ac=b²            .............(1)

now A/Q  a(b-c)=2b  ⇒  ab - ac -2b = 0
                                 ⇒  ab - b² -2b = 0
                                 ⇒  b(a - b -2) = 0
                                 ⇒ a - b -2 =0    as b≠0
                                ⇒  a - b = 2        ............(2)

    now    to prove    a-c=2(a+b)/a 
               LHS  =  a-c  ⇒  multipying a to nr. and dr.

                             ⇒  a(a-c)/a  ⇒ a² - ac/ a ⇒ a² - b² / a 
                           ⇒ (a-b)(a+b)/a  ⇒ 2(a+b)/a         from (1) and (2)

hence proved

hope this helps