Question

If a^x=b,b^y=c and c^z=a then show that xyz=1.

Answer 1

$\huge{\red{\underline{\overline{\mid{\bold{\purple{\: \: SOLUTION \: \: \red{\mid}}}}}}}}$

$\to \underline{ \underline{\bold{ \: \: GIVEN \: \: : }}} \: \: \: \: \: \: \: \bold{a {}^{x} = b} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{b {}^{y} = c } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: And ,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: c {}^{z} = a }$

$\to \: {\underline{ \underline{ \bold{ \: \: TO \: \:SHOW \: : }}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{xyz = 1}$




$\underline{ \huge{ \textbf{ \textsf{\pink{ \: METHOD \: 1 \: }}}}}$



$\bold{a {}^{x} = \: b \: \: \: - - - - - - - > (1)} \\ \\ \bold{b {}^{y} = c \: \: \: - - - - - - - > (2)} \\ \\ \bold{c {}^{z} = a \: \: \: - - - - - - - > (3)}$

$\underline{ \bold{ \: \: Putting \: \: the \: \: value \: \: of \: \: \red{c} \: \: from \: \: }} \\ \underline{ \bold{ \: \: (2) \: \: in \: \: (3) \: \: \: }}$

$\bold{(3) = > (b {}^{y} ) {}^{z} = a} \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: = > b {}^{yz} = a \: \: \: - - - - - - > (4) } \\ \\ \\ \underline{ \bold{ \: \: Putting \: \: the \: \: value \: \: of \: \: \red{a} \: \: from \: \: }} \\ \underline{\bold{ \: \: (4) \: \: in \: \: (1) \: \: }}$

$\bold{(1) = > (b {}^{yz} ) {}^{x} = b } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: = > b {}^{xyz} = b {}^{1} } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: = > \underline{ \: \: xyz = 1 \: \: }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \underline{ \bold{ \: \: Hence \: \: Showed. \: \: }}} \:$

______________________________________________________


$\underline{ \huge{ \textbf{ \textsf{\pink{ \:METHOD \: 2 \: }}}}}$



$\bold{a {}^{x} = \: b \: } \\ \\ \: \bold{ = > a = b {}^{ \frac{1}{x} } \: \: \: - - - - - - - > (1)} \\ \\ \\ \bold{b {}^{y} = c \: } \\ \\ \: \bold{ = > b = c {}^{ \frac{1}{y} } \: \: - - - - - - - > (2)} \\ \\ \\ \bold{c {}^{z} = a \: } \\ \\ \: \bold{ = > c = a {}^{ \frac{1}{z} } \: \: - - - - - - - > (3)} \:$

$\underline{ \bold{ \: \: Putting \: \: the \: \: value \: \: of \: \: \red{c} \: \: from \: \: }} \\ \underline{ \bold{ \: \: (3) \: \: in \: \: (2) \: \: \: }}$

$\bold{(2) = > b = (a {}^{ \frac{1}{z} }) {}^{ \frac{1}{y} } } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: = > b = a {}^{ \frac{1}{yz} } \: \: - - - - - - - > (4)}$

$\underline{ \bold{ \: \: Putting \: \: the \: \: value \: \: of \: \: \red{b} \: \: from \: \: }} \\ \underline{\bold{ \: \: (4) \: \: in \: \: (1) \: \: }}$

$\bold{(1) = > a = (a {}^{ \frac{1}{yz} }) {}^{ \frac{1}{x} } } \\ \\ \bold{ = > a {}^{1} = a {}^{ \frac{1}{xyz} } } \\ \\ \bold{ = > 1 = \frac{1}{xyz} } \\ \\ \bold{ = > \underline{ \: \: xyz = 1 \: \: }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \underline{ \bold{ \: \: Hence \: \: Showed. \: \: }}}$