Question

if AB=I,BA=I then prove that A is invertable and B=A inverse​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\textsf{AB=I and BA=I}$

$\underline{\textsf{To prove:}}$

$\textsf{A is invertible and}$

$\mathsf{B=A^{-1}}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{AB=I}$

$\textsf{Taking determinants}$

$\mathsf{|AB|=|I|}$

$\mathsf{|A|\;|B|=1}$

$\implies\sf{|A|{\neq}\,0}$

$\textsf{Hence A is invertible}$

$\textsf{Now}$

$\mathsf{AB=I}$

$\textsf{Multiply bothsides by}\;\mathsf{A^{-1}}$

$\mathsf{A^{-1}(AB)=A^{-1}I}$

$\mathsf{(A^{-1}A)B=A^{-1}I}$

$\mathsf{(I)B=A^{-1}}$

$\implies\boxed{\mathsf{B=A^{-1}}}$

$\textsf{Hence proved}$