Question

if α & β are the zeros of the quadratic polynomial p(x)= 3X²-6x+4,find the value of α\β+β+α+2(1/α+1/β)+3αβ​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{\alpha\;\&\;\beta\;are\;zeroes\;of\;P(x)=3x^2-6x+4}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}$

$\mathsf{\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}+2\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)+3\,\alpha\beta}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,\;\;P(x)=3x^2-6x+4}$

$\mathsf{Sum\;of\;zeroes=\dfrac{-(-6)}{3}}$

$\implies\mathsf{\alpha+\beta=2}$

$\mathsf{Product\;of\;zeroes=\dfrac{4}{3}}$

$\implies\mathsf{\alpha\beta=\dfrac{4}{3}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}+2\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)+3\,\alpha\beta}$

$\mathsf{=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}+2\left(\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\right)+3\,\alpha\beta}$

$\mathsf{=\dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}+2\left(\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\right)+3\,\alpha\beta}$

$\mathsf{=\dfrac{(2)^2-2\left(\dfrac{4}{3}\right)}{\dfrac{4}{3}}+2\left(\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}\right)+3{\times}\dfrac{4}{3}}$

$\mathsf{=\dfrac{4-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{4}{3}}+2\left(\dfrac{6}{4}\right)+4}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{12-8}{3}}{\dfrac{4}{3}}+\dfrac{6}{2}+4}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{4}{3}}+3+4}$

$\mathsf{=1+3+4}$

$\mathsf{=8}$

$\implies\boxed{\mathsf{\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}+2\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)+3\,\alpha\beta=8}}$