if b2+c2,c2+a2,a2+b2 are in A. P. show that 1/b+c, 1/c+a, 1/a+b are in A. P.
Answers
EXPLANATION.
⇒ b² + c² , c² + a² , a² + b². - - - - - (A.P).
As we know that,
Conditions of an A.P.
⇒ 2b = a + c.
⇒ 2(c² + a²) = b² + c² + a² + b².
⇒ 2c² + 2a² = 2b² + c² + a².
⇒ 2c² - c² + 2a² - a² = 2b².
⇒ c² + a² = 2b².
⇒ c² + a² = b² + b².
⇒ c² - b² = b² - a².
As we know that,
Formula of :
⇒ (x² - y²) = (x + y)(x - y).
Using this formula in equation, we get.
⇒ (c - b)(c + b) = (b - a)(b + a).
Show that = 1/b + c , 1/c + a , 1/a + b are in A.P.
⇒ a₁ = 1/b + c.
⇒ a₂ = 1/c + a.
⇒ a₃ = 1/a + b.
⇒ a₂ - a₁ = a₃ - a₂.
⇒ a₂ - a₁ = 1/c + a - 1/b + c.
⇒ a₂ - a₁ = (b + c) - (c + a)/(c + a)(b + c).
⇒ a₂ - a₁ = b + c - c - a/(c + a)(b + c).
⇒ a₂ - a₁ = (b - a)/(c + a)(b + c).
⇒ a₃ - a₂ = 1/a + b - 1/c + a.
⇒ a₃ - a₂ = (c + a) - (a + b)/(a + b)(c + a).
⇒ a₃ - a₂ = c + a - a - b/(a + b)(c + a).
⇒ a₃ - a₂ = (c - b)/(a + b)(c + a).
⇒ a₂ - a₁ = a₃ - a₂.
⇒ (b - a)/(c + a)(b + c) = (c - b)/(a + b)(c + a).
⇒ (b - a + c - c)/(c + a)(b + c) = (c - b + a - a)/(a + b)(c + a).
⇒ (b + c - a - c)/(c + a)(b + c) = (c + a - b - a)/(a + b)(c + a).
⇒ (b + c) - (a + c)/(c + a)(b + c) = (c + a) - (a + b)/(a + b)(c + a).
⇒ (b + c)/(c + a)(b + c) - (a + c)/(c + a)(b + c) = (c + a)/(a + b)(c + a) - (a + b)/(a + b)(c + a).
⇒ 1/(c + a) - 1/(b + c) = 1/(a + b) - 1/(c + a).
⇒ 1/(b + c) , 1/(c + a) , 1/(a + b). - - - - - (A.P.).
Hence proved.
MORE INFORMATION.
Supposition of terms in A.P.
(1) = Three terms as : a - d, a, a + d.
(2) = Four terms as : a - 3d, a - d, a + d, a + 3d.
(3) = Five terms as : a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d.