Question

if both x-2 and x-1/2 are factors of
$p {x}^{2} + 5x + r$
then show that p=r.

Answer 1

let p(x)=px²+5x+r.Since x-2 ad x-1/2 are factors of p(x).
p(2)=0 and p(1/2)=0
p×2²+5×2+r=0  and  p(1/2)²+5×1/2+r=0

4p+10+r=0 and p/4+5/2+r=0

4p+r=-10 and p+4r+10=0
                         4

4p+r=-10 and p+4r+10=0

4p+r=-10 and p+4r=-10

4p+r=p+4r

3p=3r

 ⇒ p=r

Answer 2

$hey \: mate \: here \: is \: your \: answer...$
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$px {}^{2} +5x + r = 0 \\ on \: putting \: x = 2 \\ \\ p(2) {}^{2} + 5(2) + r = 0 \\ \: \: \: \: \: p(4) + 10 + r = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: 4p + 10 + r = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 4p + r = - 10 \: \: \: \: \: \: \: - (1)$


$on \: putting \: x = \frac{1}{2} \\ \\ p( \frac{1}{2} ) {}^{2} + 5( \frac{1}{2} ) + r = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: p( \frac{1}{4} ) + \frac{5}{2} + r = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{p}{4} + \frac{5}{2} + r = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{p + 10 + 4r}{4} = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: p + 10 + 4r = 0 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: p + 4r = - 10 \: \: \: \: - (2)$


$on \: multipying \: equation \:( 1 )\: by \: 4 \\ \: and \: equation \: (2) \: by \: 1$

$16p + 4r = - 40 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - (3) \\ \: \: \: \: p + 4r = - 10 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - (4)$

$on \: subtracting \: equation \: (4) \: \\ from \: (3)$


$we \: get \: \: \: \: 15p = - 30 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: p = \frac{ - 30}{15} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: p = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - (5)$

$on \: putting \: the \: value \: of \: p \: in \: \\ equation \: (1)$

$4( - 2) + r = - 10 \\ \: \: \: \: \: \: - 8 + r = - 10 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: r = - 10 + 8 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: r = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - (6)$


$from \: equation \: (5) \: and \: (6) \\ p = r \\ \\ hence \: proved...$


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$hope \: it \: helps....$