Question

If cos θ + sin θ = p and secθ + cosecθ = q, prove that q(p²-1)= 2 p.

Answer 1

$\huge {\boxed{\sf{\red{Solution.}}}}$

$\bf \green{Given:-} \rm \: p = sin \ \theta + cos \theta$

$\sf \: and$

$\rm \: q = sec \: \theta \: + cosec \: \theta$

$\: \: \: \: \: \: \: \sf = \frac{1}{cos \: \theta} + \frac{1}{sin \: \theta}$

$\: \: \: \: \: \rm = \frac{sin \: \theta + cos \: \theta}{sin \: \theta \: cos \: \theta}$

$\sf Now(p {}^{2} - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (as \: required \: in \: L.H.S.)$

$\: \: \: \: \: \: \: \: = \rm (sin \: \theta + cos \: \theta) {}^{2} - 1$

$\: \: \: \: = \sf sin {}^{2} \: \theta + cos {}^{2} \: \theta + 2 \: sin \: \theta \: cos \: \theta - 1$

$\rm = 1 + 2 \: sin \: \theta \: cos \: \theta - 1 = 2 \: sin \: \theta \: cos \: \theta$

$\sf Putting \: these \: values of \red{q} \: and \red{(p {}^{2} - 1)} \\ \sf in \: L.H.S.$

$\rm L.H.S. =q(p {}^{2} - 1)$

$= \: \: \: \sf \frac{(sin \: \theta + cos \: \theta)}{sin \: \theta \: cos \: \theta}2 \: sin \: \theta \: cos \: \ \theta$

$\: \: \: \rm = 2(sin \: \theta + cos \: \theta) = 2p = R.H.S.$