Question

if f(x)=2x+3 , g(x)=1-2x, h(x)=3x prove that fo(goh)=(fog)oh​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{f(x)=2x+3}$

$\mathsf{g(x)=1-2x}$

$\mathsf{h(x)=3x}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{f\,\circ(g\,\circ\,h)=(f\,\circ\,g)\,\circ\,h}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{[f\,\circ\,g](x)}$

$\mathsf{=f[g(x)]}$

$\mathsf{=f[1-2x]}$

$\mathsf{=2(1-2x)+3}$

$\mathsf{=2-4x+3}$

$\mathsf{=5-4x}$

$\mathsf{[(f\,\circ\,g)\,\circ\,h](x)}$

$\mathsf{=(f\,\circ\,g)[h(x)]}$

$\mathsf{=(f\,\circ\,g)[3x]}$

$\mathsf{=5-4(3x)}$

$\mathsf{=5-12x}$-----------(1)

$\mathsf{[g\,\circ\,h](x)}$

$\mathsf{=g[h(x)]}$

$\mathsf{=g[3x]}$

$\mathsf{=1-2(3x)}$

$\mathsf{=1-6x}$

$\mathsf{f\,\circ\,(g\,\circ\,h)(x)}$

$\mathsf{=f\,[(g\,\circ\,h)(x)]}$

$\mathsf{=f\,[1-6x]}$

$\mathsf{=2(1-6x)+3}$

$\mathsf{=2-12x+3}$

$\mathsf{=5-12x}$-----------(2)

$\textsf{From (1) and (2), we get}$

$\mathsf{f\,\circ(g\,\circ\,h)=(f\,\circ\,g)\,\circ\,h}$