Question

if f(X) = p tan X + q sin X + r, f (0) = -4√3 f (π/3) = -7√3 f' (π/3) = 3 then find p q and r​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{f(x)=p\,tanx+q\,sinx+r,\;f(0)=-4\sqrt{3},\;f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-7\sqrt{3},f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=3}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The values of p,q and r}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{f(x)=p\,tanx+q\,sinx+r}$

$\mathsf{(i)\;\;f(0)=-4\sqrt{3}}$

$\implies\mathsf{p\,tan\,0+q\,sin\,0+r=-4\sqrt{3}}$

$\implies\mathsf{p(0)+q(0)+r=-4\sqrt{3}}$

$\implies\boxed{\mathsf{r=-4\sqrt{3}}}$

$\mathsf{(ii)\;f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-7}$

$\implies\mathsf{p\,tan\dfrac{\pi}{3}+q\,sin\dfrac{\pi}{3}+r=-7}$

$\implies\mathsf{p(\sqrt{3})+q(\dfrac{\sqrt{3}}{2})+(-4\sqrt{3})=-7}$

$\implies\mathsf{p(\sqrt{3})+q(\dfrac{\sqrt{3}}{2})=4\sqrt{3}-7}$

$\implies\mathsf{2\sqrt{3}\,p+\sqrt{3}\,q=8\sqrt{3}-14}$ ------------(1)

$\mathsf{(iii)\;\;f'(x)=p\,sec^2x+q\,cosx}$

$\mathsf{But\;f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=3}$

$\implies\mathsf{p\,sec^2\dfrac{\pi}{3}+q\,cos\dfrac{\pi}{3}=3}$

$\implies\mathsf{p(2)^2+q\left(\dfrac{1}{2}\right)=3}$

$\implies\mathsf{4\,p+q\left(\dfrac{1}{2}\right)=3}$

$\implies\mathsf{8\,p+q=6}$

$\implies\mathsf{q=6-8p}$------------(2)

$\textsf{Using (2) in (1), we get}$

$\implies\mathsf{2\sqrt{3}\,p+\sqrt{3}(6-8p)=8\sqrt{3}-14}$

$\implies\mathsf{2\sqrt{3}\,p+6\sqrt{3}-8\sqrt{3}p=8\sqrt{3}-14}$

$\implies\mathsf{8\sqrt{3}-8\sqrt{3}p=8\sqrt{3}-14}$

$\implies\mathsf{-8\sqrt{3}p=-14}$

$\implies\mathsf{p=\dfrac{-14}{-8\sqrt{3}}}$

$\implies\boxed{\mathsf{p=\dfrac{7}{4\sqrt{3}}}}$

$\mathsf{(2)\;\implies\;q=6-8\left(\dfrac{7}{4\sqrt{3}}\right)}$

$\mathsf{\implies\;q=6-2\left(\dfrac{7}{\sqrt{3}}\right)}$

$\mathsf{\implies\;q=6-\left(\dfrac{14}{\sqrt{3}}\right)}$

$\implies\boxed{\mathsf{q=\dfrac{6\sqrt{3}-14}{\sqrt{3}}}}$