Question

If ki,mi,ni;I=1,2,3 denote the direction of three mutually perpendicular vectors in space,prove that AA'=I,
where A= l1 m1 n1
l2 m2 n3
l3 m3 n3

Answer 1

Given $\mathsf{l_{i},\:m_{i},\:n_{i}\:(i=1,2,3)}$ denote the direction cosines of three mutually perpendicular vectors in space.

Then,

• $\mathsf{{l_{1}}^{2}+{m_{1}}^{2}+{n_{1}}^{2}=1}$
• $\mathsf{{l_{2}}^{2}+{m_{2}}^{2}+{n_{2}}^{2}=1}$
• $\mathsf{{l_{3}}^{2}+{m_{3}}^{2}+{n_{3}}^{2}=1}$
• $\mathsf{l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}=0}$
• $\mathsf{l_{2}l_{3}+m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}=0}$
• $\mathsf{l_{3}l_{1}+m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}=0}$

Given, $\mathsf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{l_{1}}&\mathsf{m_{1}}&\mathsf{n_{1}}\\ \mathsf{l_{2}}&\mathsf{m_{2}}&\mathsf{n_{2}}\\ \mathsf{l_{3}}&\mathsf{m_{3}}&\mathsf{n_{3}}\end{array}\right|$

Then, $\mathsf{A'}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{l_{1}}&\mathsf{l_{2}}&\mathsf{l_{3}}\\ \mathsf{m_{1}}&\mathsf{m_{2}}&\mathsf{m_{3}}\\ \mathsf{n_{1}}&\mathsf{n_{2}}&\mathsf{n_{3}}\end{array}\right|$

$\therefore \mathsf{AA'}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{l_{1}}&\mathsf{m_{1}}&\mathsf{n_{1}}\\ \mathsf{l_{2}}&\mathsf{m_{2}}&\mathsf{n_{2}}\\ \mathsf{l_{3}}&\mathsf{m_{3}}&\mathsf{n_{3}}\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{l_{1}}&\mathsf{l_{2}}&\mathsf{l_{3}}\\ \mathsf{m_{1}}&\mathsf{m_{2}}&\mathsf{m_{3}}\\ \mathsf{n_{1}}&\mathsf{n_{2}}&\mathsf{n_{3}}\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{{l_{1}}^{2}+{m_{1}}^{2}+{n_{1}}^{2}}&\mathsf{l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}}&\mathsf{l_{3}l_{1}+m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}}\\ \mathsf{l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}}&\mathsf{{l_{2}}^{2}+{m_{2}}^{2}+{n_{2}}^{2}}&\mathsf{l_{2}l_{3}+m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}}\\ \mathsf{l_{3}l_{1}+m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}}&\mathsf{l_{2}l_{3}+m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}}&\mathsf{{l_{3}}^{2}+{m_{3}}^{2}+{n_{3}}^{2}}\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{0}&\mathsf{0}\\ \mathsf{0}&\mathsf{1}&\mathsf{0}\\ \mathsf{0}&\mathsf{0}&\mathsf{1}\end{array}\right|$

$=\mathsf{I_{3}}$

$\Rightarrow \mathsf{AA'=I}$

Hence proved.