Question

If l cosec • + m cot• + n=0 & l' cosec • + m' cot • + n'= 0 show that ( mn' - m'n )2 - ( ln' - nl')2 = (ml' - lm')2

Answer 1

lcosecθ+mcotθ+n=0
or, lcosecθ+mcotθ=-n
l'cosecθ+m'cotθ+n'=0
or, l'cosecθ+m'cotθ=-n'
∴, (mn'-m'n)²-(ln'-nl')²
=[m{-(l'cosecθ+m'cotθ)}-m'{-(lcosecθ+mcotθ)}]²-[{-(l'cosecθ+m'cotθ)}l-{-(lcosecθ+mcotθ)}l']²
=(-ml'cosecθ-mm'cotθ+m'lcosecθ+mm'cotθ)²-(-ll'cosecθ-lm'cotθ+ll'cosecθ+ml'cotθ)²
=cosec²θ(m'l-ml')²-cot²θ(ml'-lm')²
=cosec²θ(ml'-lm')²-cot²θ(ml'-lm')²
=(ml'-lm')²(cosec²θ-cot²θ)
=(ml'-lm')²
=(ml'-lm')² (Proved)