Question

IF Pth term , Qth term and Rth term of an A.P are a,b,c respectively,then show that (a-b)R+(b-c)P+(c-a)Q = 0

Answer 1

Hey there!

Let A and D be the first term and common difference of A.P.

ap = a  ⇒A + (p– 1) D = a   -----(1)

aq = b ⇒A + (q – 1) D = b   -------(2)

ar = c   ⇒ A + (r – 1) D = c    ----(3)


a (q – r) + b  (r – p) + c (p – q)

= [A + (p– 1) D] (q – r) + [A + (q – 1) D] (r – p) + [A + (r – 1) D] (p – q)]

= A (q – r)  + (p – 1) (q – r)D + A (r – p) + (q – 1) (r – p) D + A (p – q)  + (r – 1) (p– q) D

= A × (q – r + r – p + p – q) + D × (pq – pr – q + r + qr – pq – r + p + pr – rq – p + q)

= A × 0 + D × 0

= 0

Now, 
a(q – r) + b (r – p) + c (p – q) = 0  (Proved above.)

⇒ aq – ar + br – bp + cp – cq = 0

⇒ r (–a + b) + p (–b + c) + q (–c + a) = 0

⇒ – r (a – b) – p (b – c) – q (c – a) = 0

⇒ r (a – b) – p(b – c) + q (c – a) = 0

 
Cheers!