Question

if r1+r2=r3-r then show that angle C is 90°​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{In triangle ABC}$

$\mathsf{r_1+r_2=r_3-r}$

$\textbf{To find:}$

$\mathsf{\angle{C}=90^\circ}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Concept used:}$

$\boxed{\begin{minipage}{8cm} \mathsf{Area\;of\;triangle\;having\;sides\;a,b,c\,is}\\\mathsf{\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\;\;where\;s=\dfrac{a+b+c}{2}} \end{minipage}}$

$\textsf{Let a,b,c be the sides of traingle ABC}$

$\mathsf{Then,}$

$\mathsf{r=\dfrac{\triangle}{s}}$

$\mathsf{r_1=\dfrac{\triangle}{s-a}}$

$\mathsf{r_2=\dfrac{\triangle}{s-b}}$

$\mathsf{r_3=\dfrac{\triangle}{s-c}}$

$\mathsf{Consider}$

$\mathsf{r_1+r_2=r_3-r}$

$\implies\mathsf{\dfrac{\triangle}{s-a}+\dfrac{\triangle}{s-b}=\dfrac{\triangle}{s-c}-\dfrac{\triangle}{s}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{s-a}+\dfrac{1}{s-b}=\dfrac{1}{s-c}-\dfrac{1}{s}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{(s-b)+(s-a)}{(s-a)(s-b)}=\dfrac{s-(s-c)}{s(s-c)}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{2s-a-b}{(s-a)(s-b)}=\dfrac{c}{s(s-c)}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{(a+b+c)-a-b}{s^2-(a+b)s+ab}=\dfrac{c}{s(s-c)}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{c}{s^2-(a+b)s+ab}=\dfrac{c}{s^2-sc}}$

$\implies\mathsf{\dfrac{1}{s^2-(a+b)s+ab}=\dfrac{1}{s^2-sc}}$

$\implies\mathsf{s^2-(a+b)s+ab=s^2-sc}$

$\implies\mathsf{-(a+b)s+ab=-sc}$

$\implies\mathsf{ab=(a+b)s-sc}$

$\implies\mathsf{ab=[(a+b)-c]s}$

$\implies\mathsf{ab=(a+b-c)\dfrac{(a+b+c)}{2}}$

$\implies\mathsf{2ab=(a+b)^2-c^2}$

$\implies\mathsf{2ab=a^2+b^2+2ab-c^2}$

$\implies\mathsf{0=a^2+b^2-c^2}$

$\implies\mathsf{a^2+b^2=c^2}$

$\textsf{Square of one side of triangle ABC is equal to sum of the}$

$\textsf{sum of the squares of other two sides}$

$\textsf{By converse of Pythagoras theorem}$

$\mathsf{\angle{C}=90^{\circ}}$

$\mathsf{Hence\;proved}$

$\textbf{Find more:}}$

In a triangle ABC,if acosB=bcosA then the triangle is which triangle​

https://brainly.in/question/12199661

Answer 2

Answer:

the answer is given