Question

If sec theta = 1/4x + x then prove that sec theta + tan theta = 2x or 1/2x

Answer 1

The Literal meaning of trigonometry is

• "To measure a triangle".

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sf \overbrace{trigonon}^{triangle}$$\sf \underbrace{metron}_{to\:measure}$

$\:$

${\large{\frak{\pmb{\underline{We\:have,}}}}}$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:secፀ = x+\bf\dfrac{1}{4x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...(i)$

$\:\:$

$\sf\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \because\:\: tan²ፀ = sec²ፀ -1$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\: tan²ፀ = \bigg( x+\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)^²-1$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\: \mapsto\:\: tan²ፀ=x²+\bf\dfrac{1}{16x²}+\bf\dfrac{1}{2}-1$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|\therefore(a+b)²=a²+b²+2ab|$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\implies\:\: tan²ፀ=x²+\bf\dfrac{1}{16x²}-\bf\dfrac{1}{2}$

$\:\:$

$\sf\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \mapsto\:\: tan²ፀ=\bigg(x+\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)^²$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|\therefore a²+b²-2ab=(a-b)²|$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\mapsto\:\: tan²ፀ=\pm\bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|taking\:square\:both\:sides|$

$\:\:$

$\:$

$\sf \implies\: tanፀ=\bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)\:or\:-\bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)$

$\:$

${\large{\frak{\pmb{\underline{ NOW,}}}}}$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:when\:\:tanፀ=\bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg),\:then$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:secፀ+ tanፀ= x+\bf\dfrac{1}{4x}+ x-\bf\dfrac{1}{4x} = 2x$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|from\:Eq.\:\:(i)|$

$\:\:$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:when\:\:tanፀ= - \bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg),\:then$

$\:\:$

$\sf secፀ+ tanፀ= \bigg(x+\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)-\bigg(x-\bf\dfrac{1}{4x}\bigg)=\bf\dfrac{2}{4x}=\bf\dfrac{1}{2x}$

$\sf \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|from\:Eq. \:\:(i)|$

$\:\:$

$\bf \sf \:\:\:\:\:\:\:Hence,\:secፀ+tanፀ=2x\:\:or\:\:\bf\dfrac{1}{1x}\:(✓)$

$\:\:$

$\:$

${\large{\frak{\pmb{\underline{Related\: Formulae}}}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:{\boxed{\sf{sin²ፀ=1-cos²ፀ}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{ \boxed{ \sf{ 1-sin²ፀ=cos²ፀ}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:\underline{ \boxed{ \sf{ sin²ፀ+cos²ፀ=1}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\boxed{\sf{1+tan²ፀ=sec²ፀ}}}$

$\:$

$\:\:\:\:{\boxed{\sf{sec²ፀ-tan²ፀ=1}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{ \boxed{ \sf{ tan²ፀ=sec²ፀ-1}}}$

$\:$

$\:\:\:\: \underline{ \boxed{ \sf{1+ cot²ፀ=cosec²ፀ}}}$

$\:$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{\boxed{\sf{cot²ፀ=cosec²ፀ-1}}}$

Answer 2

Answer:

dotd8tsid8d

Step-by-step explanation:

jfdido6r9r9rododirssi