Math, asked by arhaamatiq, 10 months ago

if sin ∅ - cos ∅ = p, find cosec ∅​

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Answered by TRISHNADEVI
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 \huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \:   \: SOLUTION \:  \: } \mid}}}}}

  \huge{\underline{ \mathfrak{ \:  \: Given  :  \mapsto}}} \\ \\ \:  \:   \huge{\bold{sin \:  \phi - cos \:  \phi = p}} \\  \\  \\ \huge{\underline{ \mathfrak{ \:  \: \: To \:  \:  find :  \mapsto}}} \\  \\   \:  \:  \: \huge{ \bold{The \:  \: value \:  \: of \:  \: cosec \:  \phi \:   }} \\ \\ \\

 \:  \:  \:  \:  \:  \bold{sin \:  \phi - cos \:  \phi = p \:  \:  -  -  -  -  > (1)} \\  \\  \bold{\Rightarrow \: sin \:  \phi = p + cos \:  \phi \:  \:  \:  -  -  -  -  -  > (2)} \\  \\  \underline{ \text{ \:  \: We \:  \: know \:  \: that \:  \: }} \\  \\  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \bold{sin  {}^{2}  \: \phi - cos {}^{2} \:  \phi = 1 } \\  \\  \bold{\Rightarrow \: (sin \:  \phi + cos \:  \phi)(sin \:  \phi - cos \:  \phi) = 1} \\  \\  \bold{\Rightarrow \: (sin \:  \phi + cos \:  \phi) \times p = 1 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  [From \:  \: (1)]} \\  \\  \bold{\Rightarrow \: sin \:  \phi + cos \:  \phi =  \frac{1}{p}  \:  \:  \:  -  -  -  -   - -  > (3)}

 \underline{ \text{ \:Now,  \: }} \\  \\  \bold{(3) - (1)\Rightarrow</p><p> 2 \: cos \:  \phi =  \frac{1}{p} - p } \\  \\  \Longrightarrow \: \bold{2 \: cos \:  \phi =  \frac{1 - p {}^{2} }{p} } \\  \\ \Longrightarrow \: \bold{cos \:  \phi =  \frac{1 - p {}^{2} }{2 \: p} \:  \:  \:  -  -  -  -  -  &gt; (4) } \\  \\  \\  \bold{ \therefore \: (2)\Rightarrow \: sin \:  \phi = p+ cos \:  \phi} \\  \\ \bold{  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: = p+  \frac{1 -  p{}^{2} }{2p} } \\  \\ \bold{ \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: = \frac{2p {}^{2} + 1 - p {}^{2}  }{2 p}  } \\  \\ \bold{ \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: =  \frac{p {}^{2}   + 1}{2p} } \\  \\  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \therefore \underline{ \mathsf{ \:  \: sin \:  \phi \:  =  \frac{p {}^{2}  + 1}{2p}  \:  \: }}

 \bold{ \therefore \:  \: cosec \:  \phi =  \frac{1}{sin \:  \phi} } \\  \\  \bold{  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: =  \frac{1}{ \frac{p {}^{2}  + 1}{2p} } } \\  \\  \bold{ \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: = 1 \times \frac{2p}{p {}^{2} + 1 }  } \\  \\  \bold{ \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: =  \frac{2p}{p {}^{2} + 1}}

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \bold{If   \:  \: \underline{ \red{ \:  \: sin \:  \phi - cos \:  \phi = p \:  \:  }}\: , then \:  \: value \:  \: of \:  \:} \\  \\  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \underline{ \bold{  \red{ \:  \: cosec \:  \phi \: = \frac{2p}{p {}^{2} + 1} \:  \: }}}

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