Question

if sin ∅ - cos ∅ = p, find cosec ∅​

Answer 1

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\huge{\underline{ \mathfrak{ \: \: Given : \mapsto}}} \\ \\ \: \: \huge{\bold{sin \: \phi - cos \: \phi = p}} \\ \\ \\ \huge{\underline{ \mathfrak{ \: \: \: To \: \: find : \mapsto}}} \\ \\ \: \: \: \huge{ \bold{The \: \: value \: \: of \: \: cosec \: \phi \: }}$

$\: \: \: \: \: \bold{sin \: \phi - cos \: \phi = p \: \: - - - - > (1)} \\ \\ \bold{\Rightarrow \: sin \: \phi = p + cos \: \phi \: \: \: - - - - - > (2)} \\ \\ \underline{ \text{ \: \: We \: \: know \: \: that \: \: }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bold{sin {}^{2} \: \phi - cos {}^{2} \: \phi = 1 } \\ \\ \bold{\Rightarrow \: (sin \: \phi + cos \: \phi)(sin \: \phi - cos \: \phi) = 1} \\ \\ \bold{\Rightarrow \: (sin \: \phi + cos \: \phi) \times p = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [From \: \: (1)]} \\ \\ \bold{\Rightarrow \: sin \: \phi + cos \: \phi = \frac{1}{p} \: \: \: - - - - - - > (3)}$

$\underline{ \text{ \:Now, \: }} \\ \\ \bold{(3) - (1)\Rightarrow</p><p> 2 \: cos \: \phi = \frac{1}{p} - p } \\ \\ \Longrightarrow \: \bold{2 \: cos \: \phi = \frac{1 - p {}^{2} }{p} } \\ \\ \Longrightarrow \: \bold{cos \: \phi = \frac{1 - p {}^{2} }{2 \: p} \: \: \: - - - - - > (4) } \\ \\ \\ \bold{ \therefore \: (2)\Rightarrow \: sin \: \phi = p+ cos \: \phi} \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = p+ \frac{1 - p{}^{2} }{2p} } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{2p {}^{2} + 1 - p {}^{2} }{2 p} } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{p {}^{2} + 1}{2p} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \therefore \underline{ \mathsf{ \: \: sin \: \phi \: = \frac{p {}^{2} + 1}{2p} \: \: }}$

$\bold{ \therefore \: \: cosec \: \phi = \frac{1}{sin \: \phi} } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{ \frac{p {}^{2} + 1}{2p} } } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 1 \times \frac{2p}{p {}^{2} + 1 } } \\ \\ \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{2p}{p {}^{2} + 1}}$

$\: \: \: \: \: \: \bold{If \: \: \underline{ \red{ \: \: sin \: \phi - cos \: \phi = p \: \: }}\: , then \: \: value \: \: of \: \:} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \bold{ \red{ \: \: cosec \: \phi \: = \frac{2p}{p {}^{2} + 1} \: \: }}}$