if
sin theta=ksin(theta+phi) prove that tan(theta+phi )=sin phi by cos phi-k
Answers
Given: sin Θ = k sin ( Θ + Φ )
To find: Prove that tan ( Θ + Φ )=sinΦ / cos Φ - k
Solution:
- Now we have given that sin Θ = k sin ( Θ + Φ ). Solving this further, we get:
sin Θ = k(sin Θ cos Φ + cosΘ sin Φ)
1 = k(cos Φ + cosΘ sin Φ/sin Θ )
1 = k cos Φ + k sin Φ/tan Θ
1 - k cos Φ = k sin Φ/tan Θ
tan Θ = k sin Φ / 1 - k cos Φ ...............(i)
- Now we know that tan ( Θ + Φ ) = tan Θ + tan Φ / 1 - tan Θ tan Φ
- So putting value of tan Θ in above formula, we get:
( k sin Φ / 1 - k cos Φ) + tan Φ / 1 - (k sin Φ / 1 - k cos Φ) tan Φ
( ksin Φ+ tan Φ(1 - kcosΦ) / 1 - k cos Φ / (1 - k cos Φ) -ksin Φtan Φ/1 -k cos Φ
- Cancelling 1 - kcosΦ, we get:
( ksin Φ+ tan Φ( 1 - k cosΦ) / (1 - k cos Φ) - k sin Φ tan Φ )
ksin Φ+ tan Φ - k tan ΦcosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ
ksin Φ+ tan Φ - k sin Φ cosΦ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ
ksin Φ+ tan Φ - k sin Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ
tan Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ
sin Φ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ
- Multiply by cosΦ in numerator and denominator, we get:
{ sin Φ / cosΦ } cosΦ/ {1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ} cosΦ
- We get:
sin Φ / cosΦ -k (cos²Φ + sin²Φ)
sin Φ / cosΦ - k(1)
sin Φ / cosΦ - k
tan ( Θ + Φ ) = sin Φ / cosΦ - k
Hence proved.
Answer:
So from above steps we proved that tan ( Θ + Φ ) = sin Φ / cosΦ - k