Chemistry, asked by Anonymous, 6 months ago

If sin theta=ksin(theta+phi) prove that tan(theta+phi )=sin phi by cos phi-k

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Answered by Anonymous

Answer :

Given: sin Θ = k sin ( Θ + Φ )

To find: Prove that tan ( Θ + Φ )=sinΦ / cos Φ - k

Solution:

Now we have given that sin Θ = k sin ( Θ + Φ ). Solving this further, we get:

sin Θ = k(sin Θ cos Φ + cosΘ sin Φ)

1 = k(cos Φ + cosΘ sin Φ/sin Θ )

1 = k cos Φ + k sin Φ/tan Θ

1 - k cos Φ = k sin Φ/tan Θ

tan Θ = k sin Φ / 1 - k cos Φ ...............(i)

Now we know that tan ( Θ + Φ ) = tan Θ + tan Φ / 1 - tan Θ tan Φ

So putting value of tan Θ in above formula, we get:

( k sin Φ / 1 - k cos Φ) + tan Φ / 1 - (k sin Φ / 1 - k cos Φ) tan Φ

( ksin Φ+ tan Φ(1 - kcosΦ) / 1 - k cos Φ / (1 - k cos Φ) -ksin Φtan Φ/1 -k cos Φ

Cancelling 1 - kcosΦ, we get:

( ksin Φ+ tan Φ( 1 - k cosΦ) / (1 - k cos Φ) - k sin Φ tan Φ )

ksin Φ+ tan Φ - k tan ΦcosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

ksin Φ+ tan Φ - k sin Φ cosΦ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

ksin Φ+ tan Φ - k sin Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

tan Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

sin Φ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ

Multiply by cosΦ in numerator and denominator, we get:

{ sin Φ / cosΦ } cosΦ/ {1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ} cosΦ

We get:

sin Φ / cosΦ -k (cos²Φ + sin²Φ)

sin Φ / cosΦ - k(1)

sin Φ / cosΦ - k

tan ( Θ + Φ ) = sin Φ / cosΦ - k

Hence proved.