Question

If sin theta=ksin(theta+phi) prove that tan(theta+phi )=sin phi by cos phi-k​

Answer 1

Answer:

Given: sin Θ = k sin ( Θ + Φ )

To find: Prove that tan ( Θ + Φ )=sinΦ / cos Φ - k

Solution:

Now we have given that sin Θ = k sin ( Θ + Φ ). Solving this further, we get:

            sin Θ = k(sin Θ cos Φ + cosΘ sin Φ)

            1 = k(cos Φ + cosΘ sin Φ/sin Θ )

            1 = k cos Φ + k sin Φ/tan Θ

            1 - k cos Φ =  k sin Φ/tan Θ

            tan Θ = k sin Φ / 1 - k cos Φ ...............(i)

Now we know that tan ( Θ + Φ ) = tan Θ + tan Φ / 1 - tan Θ tan Φ

So putting value of tan Θ in above formula, we get:

           ( k sin Φ / 1 - k cos Φ) + tan Φ  / 1 -  (k sin Φ / 1 - k cos Φ) tan Φ

( ksin Φ+ tan Φ(1 - kcosΦ) / 1 - k cos Φ / (1 - k cos Φ) -ksin Φtan Φ/1 -k cos Φ

Cancelling 1 - kcosΦ, we get:

            ( ksin Φ+ tan Φ( 1 - k cosΦ) / (1 - k cos Φ) - k sin Φ tan Φ )

            ksin Φ+ tan Φ -  k tan ΦcosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            ksin Φ+ tan Φ -  k sin Φ cosΦ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            ksin Φ+ tan Φ -  k sin Φ /  1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            tan Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            sin Φ / cosΦ  /  1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ

Multiply by cosΦ in numerator and denominator, we get:

            { sin Φ / cosΦ }  cosΦ/  {1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ}  cosΦ

We get:

            sin Φ /  cosΦ -k (cos²Φ + sin²Φ)

            sin Φ /  cosΦ - k(1)

            sin Φ /  cosΦ - k

            tan ( Θ + Φ ) = sin Φ /  cosΦ - k

             Hence proved.

Answer:

So from above steps we proved that tan ( Θ + Φ ) = sin Φ /  cosΦ - k

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Answer 2

Answer :

Given: sin Θ = k sin ( Θ + Φ )

To find: Prove that tan ( Θ + Φ )=sinΦ / cos Φ - k

Solution:

Now we have given that sin Θ = k sin ( Θ + Φ ). Solving this further, we get:

            sin Θ = k(sin Θ cos Φ + cosΘ sin Φ)

            1 = k(cos Φ + cosΘ sin Φ/sin Θ )

            1 = k cos Φ + k sin Φ/tan Θ

            1 - k cos Φ =  k sin Φ/tan Θ

            tan Θ = k sin Φ / 1 - k cos Φ ...............(i)

Now we know that tan ( Θ + Φ ) = tan Θ + tan Φ / 1 - tan Θ tan Φ

So putting value of tan Θ in above formula, we get:

           ( k sin Φ / 1 - k cos Φ) + tan Φ  / 1 -  (k sin Φ / 1 - k cos Φ) tan Φ

( ksin Φ+ tan Φ(1 - kcosΦ) / 1 - k cos Φ / (1 - k cos Φ) -ksin Φtan Φ/1 -k cos Φ

Cancelling 1 - kcosΦ, we get:

            ( ksin Φ+ tan Φ( 1 - k cosΦ) / (1 - k cos Φ) - k sin Φ tan Φ )

            ksin Φ+ tan Φ -  k tan ΦcosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            ksin Φ+ tan Φ -  k sin Φ cosΦ / cosΦ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            ksin Φ+ tan Φ -  k sin Φ /  1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            tan Φ / 1 - k cos Φ - k sin Φ tan Φ

            sin Φ / cosΦ  /  1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ

Multiply by cosΦ in numerator and denominator, we get:

            { sin Φ / cosΦ }  cosΦ/  {1 - k cos Φ - k sin Φ x sin Φ / cosΦ}  cosΦ

We get:

            sin Φ /  cosΦ -k (cos²Φ + sin²Φ)

            sin Φ /  cosΦ - k(1)

            sin Φ /  cosΦ - k

            tan ( Θ + Φ ) = sin Φ /  cosΦ - k

             Hence proved.

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