Question

If

${cos}^{ - 1} x + {cos}^{ - 1} y + {cos}^{ - 1} z > 3\pi$

find the value of x(y + z) + y(z + x) + z(x + y)

​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given that,

$\rm \: {cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y + {cos}^{ - 1}z = 3\pi$

We know,

$\rm \: {cos}^{ - 1}x \: is \: defined \: when \: x \: \in \: [ - 1, \: 1]$

That means,

$\rm\implies \: - 1 \leqslant x \leqslant 1$

$\rm\implies \:0 \leqslant {cos}^{ - 1}x \leqslant \pi$

Similarly,

$\rm\implies \:0 \leqslant {cos}^{ - 1}y \leqslant \pi$

and

$\rm\implies \:0 \leqslant {cos}^{ - 1}z \leqslant \pi$

So, above given expression can be rewritten as

$\rm \: {cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y + {cos}^{ - 1}z = \pi + \pi + \pi$

$\rm\implies \:{cos}^{ - 1}x = \pi \: \rm\implies \:x = cos\pi \: \rm\implies \:x = - 1$

Also,

$\rm\implies \:{cos}^{ - 1}y = \pi \: \rm\implies \:y = cos\pi \: \rm\implies \:y = - 1$

Also,

$\rm\implies \:{cos}^{ - 1}z = \pi \: \rm\implies \:z = cos\pi \: \rm\implies \:z = - 1$

So, we have

$\rm \: x = 1, \: \: \: y = 1, \: \: \: z = 1 \:$

Now, Consider

$\rm \: x(y + z) + y(z + x) + z(x + y)$

So, on substituting the values of x, y and z, we get

$\rm \: = \: - 1( - 1 - 1) - 1( - 1 - 1) - 1( - 1 - 1)$

$\rm \: = \: 2 + 2 + 2$

$\rm \: = \:6$

Hence,

$\rm\implies \:\boxed{\sf{ \:\rm \: x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) = 6 \: }}$

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Additional Information

$\begin{gathered}\boxed{\begin{array}{c|c} \bf Function & \bf Range \\ \frac{\qquad \qquad}{} & \frac{\qquad \qquad}{} \\ \sf y =  {sin}^{ - 1}(sinx) & \sf  x \:  \: if -\dfrac{\pi  }{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi  }{2}\\ \\ \sf y =  {cos}^{ - 1}(cosx) & \sf x \:  \: if \: 0 \leqslant y \leqslant \pi \\ \\ \sf y =  {tan}^{ - 1}(tanx) & \sf x \:  \: if \:  - \dfrac{\pi  }{2} < x < \dfrac{\pi  }{2}\\ \\ \sf y =  {cosec}^{ - 1}(cosecx) & \sf x \:  \: if \: x \:  \in \: \bigg[ - \dfrac{\pi}{2}, \: \dfrac{\pi  }{2}\bigg] -  \{0 \}\\ \\ \sf y =  {sec}^{ - 1}(secx) & \sf x \:  \: if \: x \:  \in \: [0, \: \pi] \:   -  \: \bigg\{\dfrac{\pi  }{2}\bigg\}\\ \\ \sf y =  {cot}^{ - 1}(cotx) & \sf x \:  \: if \:  \:  \in \: \bigg( -  \dfrac{\pi  }{2} , \dfrac{\pi  }{2}\bigg) -  \{0 \} \end{array}} \\ \end{gathered}$

Answer 2

$answer \: by \: missincrededible$