Question

If

${sin}^{ - 1}x + {sin}^{ - 1} y = \frac{2\pi}{3} \\ find \: the \: value \: of \: {cos}^{ - 1} x + {cos}^{ - 1} y$

explain all steps completely​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given that,

$\rm \: {sin}^{ - 1}x + {sin}^{ - 1}y = \dfrac{2\pi}{3}$

We know,

$\boxed{\sf{ \:\rm \: {sin}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}x = \dfrac{\pi}{2} \: }}$

So, using this identity, we get

$\rm \: \bigg(\dfrac{\pi}{2} - {cos}^{ - 1}x \bigg)+ \bigg(\dfrac{\pi}{2} - {cos}^{ - 1}y \bigg)= \dfrac{2\pi}{3}$

$\rm \:\dfrac{\pi}{2} - {cos}^{ - 1}x + \dfrac{\pi}{2} - {cos}^{ - 1}y = \dfrac{2\pi}{3}$

$\rm \:\pi - {cos}^{ - 1}x - {cos}^{ - 1}y = \dfrac{2\pi}{3}$

$\rm \:{cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y = \pi - \dfrac{2\pi}{3}$

$\rm\implies \: \boxed{\sf{ \:\: \rm \:{cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y = \dfrac{\pi}{3} \: \: }}$

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Short Cut Trick

$\boxed{\sf{ \:\rm \: If \: {sin}^{ - 1}x + {sin}^{ - 1}y = \alpha \: then \: {cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y = \pi - \alpha \: }}$

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Additional Information

$\boxed{\sf{ \:\rm \: If \: {cos}^{ - 1}x + {cos}^{ - 1}y = \alpha \: then \: {sin}^{ - 1}x + {sin}^{ - 1}y = \pi - \alpha \: }}$

$\boxed{\sf{ \:\rm \: If \: {cot}^{ - 1}x + {cot}^{ - 1}y = \alpha \: then \: {tan}^{ - 1}x + {tan}^{ - 1}y = \pi - \alpha \: }}$

$\boxed{\sf{ \:\rm \: If \: {tan}^{ - 1}x + {tan}^{ - 1}y = \alpha \: then \: {cot}^{ - 1}x + {cot}^{ - 1}y = \pi - \alpha \: }}$

$\begin{gathered}\boxed{\begin{array}{c|c} \bf Function & \bf Range \\ \frac{\qquad \qquad}{} & \frac{\qquad \qquad}{} \\ \sf y =  {sin}^{ - 1}(sinx) & \sf  x \:  \: if -\dfrac{\pi  }{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi  }{2}\\ \\ \sf y =  {cos}^{ - 1}(cosx) & \sf x \:  \: if \: 0 \leqslant y \leqslant \pi \\ \\ \sf y =  {tan}^{ - 1}(tanx) & \sf x \:  \: if \:  - \dfrac{\pi  }{2} < x < \dfrac{\pi  }{2}\\ \\ \sf y =  {cosec}^{ - 1}(cosecx) & \sf x \:  \: if \: x \:  \in \: \bigg[ - \dfrac{\pi}{2}, \: \dfrac{\pi  }{2}\bigg] -  \{0 \}\\ \\ \sf y =  {sec}^{ - 1}(secx) & \sf x \:  \: if \: x \:  \in \: [0, \: \pi] \:   -  \: \bigg\{\dfrac{\pi  }{2}\bigg\}\\ \\ \sf y =  {cot}^{ - 1}(cotx) & \sf x \:  \: if \:  \:  \in \: \bigg( -  \dfrac{\pi  }{2} , \dfrac{\pi  }{2}\bigg) -  \{0 \} \end{array}} \\ \end{gathered}$