Question

if $x^{2} +px+1$ is a factor of $ax^3+bx+c$
then $a^{2}+c^2=?$

Answer 1

x²+px+1)ax³+(0)x²+bx+c                   (ax-ap
               (-)    (-)    (-)
              ax²+apx²+ax
             ----------------------
                    -apx²+(b-a)x+c 
                       (-)         (-)    (-)
                     -apx²-(ap²)x-ap               
                   ---------------------------
                     (b-a+ap²)x+(c-ap)
                    ---------------------------
as it is a factor remainder is zero
so b-a+ap²=0,c-ap=0
$p^2= \frac{a-b}{a}=1- \frac{b}{a}$
$c=ap \\ \frac{c}{a}=p \\ p^2= \frac{c^2}{a^2}= \frac{(a-b)}{a} \\ c^2=a(a-b) \\ c^2-a^2=-ab$
                     

Answer 2

c²-a²=-ab
is ur answer