Question

if the coefficient of 1/x in the expansion of (x+k/x)^5 is 90, find the value of k using binomial theorem

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{Coefficient\;of\;\dfrac{1}{x}\;in\;the\;expansion\;of\;\left(x+\dfrac{k}{x}\right)^5\;is\;90}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of k}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Concept used:}}$

$\mathsf{The\;n\,th\;term\;in\;the\;expansion\;of\;(a+b)^n\;is}$

$\boxed{\mathsf{T_{r+1}=\;^n{C_r}\;a^{n-r}\,b^r}}$

$\mathsf{Consider,\;\;\left(x+\dfrac{k}{x}\right)^5}$

$\mathsf{Here,\;a=x,\;b=\dfrac{k}{x},\;n=5}$

$\textsf{n th term is}$

$\mathsf{T_{r+1}=\;^n{C_r}\;a^{n-r}\,b^r}$

$\mathsf{T_{r+1}=\;^5{C_r}\;x^{5-r}\,\left(\dfrac{k}{x}\right)^r}$

$\mathsf{T_{r+1}=\;^5{C_r}\;x^{5-r}\,\left(\dfrac{k^r}{x^r}\right)}$

$\mathsf{T_{r+1}=\;^5{C_r}\;x^{5-2r}\,k^r}$

$\mathsf{Let\;T_{r+1}\;be\;the\;term\;containing\;\dfrac{1}{x}}$

$\implies\mathsf{5-2r=-1}$

$\implies\mathsf{-2r=-6}$

$\implies\mathsf{r=3}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{T_{4}=\;^5{C_3}\;k^2\;x^{-1}}$

$\mathsf{T_{4}=\;^5{C_3}\;k^2\,\left(\dfrac{1}{x}\right)}$

$\mathsf{Coefficient\;of\;\dfrac{1}{x}=\;^5{C_3}\;k^2}$

$\implies\mathsf{90=\dfrac{5{\times}4{\times}3}{1{\times}2{\times}3}\;k^2}$

$\implies\mathsf{90=(10)\,k^2}$

$\implies\mathsf{k^2=9}$

$\therefore\boxed{\mathsf{k=\pm\,3}}$