Question

If the line x - 2 = 0 is the directrix of the parabola y2 - kx + 4 = 0, then k is equal to
यदि रेखा1-2 = 0, परवलय y-kx+ 4 = 0 की नियता है तब k का मान बराबर है​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{x-2=0 is the directrix of the parabola}$

$\mathsf{y^2-k\,x+4=0}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of 'k'}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{y^2-k\,x+4=0}$

$\textsf{This can be written as,}$

$\mathsf{y^2=k\,x-4}$

$\mathsf{y^2=k\left(x-\dfrac{4}{k}\right)}$

$\mathsf{Take,}\;\mathsf{X=x-\dfrac{4}{k}\;\&\;Y=y}$

$\implies\mathsf{Y^2=k\,X}$

$\textsf{Comparing this with}\;\mathsf{Y^2=4a\,X}$

$\mathsf{we\;get}$

$\mathsf{4a=k}$

$\implies\mathsf{a=\dfrac{k}{4}}$

$\textsf{Equation of directrix is}$

$\mathsf{X=-a}$

$\mathsf{X=-\dfrac{k}{4}}$

$\implies\mathsf{x-\dfrac{4}{k}=-\dfrac{k}{4}}$

$\implies\mathsf{x-\dfrac{4}{k}=-\dfrac{k}{4}}$

$\implies\mathsf{x=\dfrac{4}{k}-\dfrac{k}{4}}$

$\implies\mathsf{x=\dfrac{16-k^2}{4k}}$-------(1)

$\mathsf{But\;Equation\;of\;directrix\;is\;x=2}$-----(2)

$\textsf{From (1) and (2), we get}$

$\mathsf{\dfrac{16-k^2}{4k}=2}$

$\mathsf{16-k^2=8k}$

$\mathsf{k^2+8k-16=0}$

$\mathsf{(k^2+8k+16)-16-16=0}$

$\mathsf{(k+4)^2=32}$

$\mathsf{k+4=\pm\,\sqrt{32}}$

$\mathsf{k+4=\pm\,4\sqrt{2}}$

$\implies\boxed{\mathsf{k=-4\pm\,4\sqrt{2}}}$