Question

if the roots of the quadratic equation (a minus b) close X square + (minus b minus C) close X + (c minus A is equals to zero are equal then prove that two A is equals to b + c​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{Roots\;of\;(a-b)^2+(b-c)x+(c-a)=0\;are\;equal}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{2a=b+c}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,\;\;(a-b)^2+(b-c)x+(c-a)=0}$

$\mathsf{Here,\;\;"a"=a-b,\;\;"b"=b-c,\;\;"c"=c-a}$

$\textsf{Since the roots of the equation are equal,}$

$\textsf{we\;have\;}\boxed{\bf\,b^2-4ac=0}$

$\implies\mathsf{(b-c)^2-4(a-b)(c-a)=0}$

$\implies\mathsf{(b-c)^2-4(ac-a^2-bc+ab)=0}$

$\implies\mathsf{(b-c)^2-4ac+4a^2+4bc-4ab=0}$

$\implies\mathsf{((b-c)^2+4bc)-4ac+4a^2-4ab=0}$

$\implies\mathsf{(b+c)^2-4ac-4ab+4a^2=0}$

$\implies\mathsf{(b+c)^2-4a(b+c)+4a^2=0}$

$\implies\mathsf{(b+c)^2-2(2a)(b+c)+(2a)^2=0}$

$\mathsf{Using,}\;\boxed{\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}$

$\mathsf{((b+c)-2a)^2=0}$

$\implies\mathsf{(b+c)-2a=0}$

$\implies\boxed{\mathsf{2a=b+c}}$