Question

if u = cos ^(-1) x+y/√x+√y, prove that , x du/dx + y dy/dx + 1/2 cot u =0​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{u=cos^{-1}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\textbf{To prove:}$

$\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}+\dfrac{1}{2}cot\,u=0}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Euler's theorem:}$

$\textsf{If f is  homogeneous function of degree n, then}$

$\boxed{\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=n\;f}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{u=cos^{-1}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{cos\,u=\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=f(x,y)\;(say)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{tx+ty}{\sqrt{tx}+\sqrt{ty}}}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{t}{\sqrt{t}}\left(\dfrac{(x+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\sqrt{t}\left(\dfrac{(x+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=t^\frac{1}{2}\;f(x,y)}$

$\therefore\textsf{f is a homogeneous function of degree}\;\mathsf{\dfrac{1}{2}}$

$\textsf{By Euler's theorem}$

$\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\;f}$

$\mathsf{x\;\dfrac{\partial(cos\,u)}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial(cos\,u)}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\;cos\,u}$

$\mathsf{(-sin\,u)x\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+(-sin\,u)y\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\;cos\,u}$

$\textbf{Dividing bothsides by -sinu}$

$\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(-cos\,u)}{sin\,u}}$

$\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{-1}{2}cot\,u}$

$\implies\boxed{\mathsf{x\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\;\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}+\dfrac{1}{2}cot\,u=0}}$

$\textbf{Find more:}$

If u=x³y³/x³+y³,prove that x du/dx + y du/dy=3u​

https://brainly.in/question/35340172