Question

if x= 3+√5/2, show that x+1/x=3. also find x cube +1/x cube

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Answer 1

Step-by-step explanation:

Given:

$x=\frac{3+\sqrt{5} }{2}$

To prove:

$x+\frac{1}{x}=3$

Proof:

$\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{3+\sqrt{5} }{2} }$

⇒ $1\div\frac{3+\sqrt{5}}{2 }$

⇒ $1\times\frac{2}{3+\sqrt{5} }$

⇒ $\frac{1\times2}{3+\sqrt{5} }$

⇒ $\frac{2}{3+\sqrt{5} }$

On rationalising the denominator,

⇒ $\frac{2}{3+\sqrt{5} }\times\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5} }$

⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$

⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{(3)^2-(\sqrt{5})^2}$

⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{9-5}$

⇒ $\frac{2(3-\sqrt{5}) }{4}$

⇒ $\frac{3-\sqrt{5} }{2}$

∴ $\frac{1}{x} =\frac{3-\sqrt{5} }{2}$

$x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5} }{2}+(\frac{3-\sqrt{5} }{2} )$

⇒ $\frac{3+\sqrt{5} }{2}+\frac{3-\sqrt{5} }{2}$

⇒ $\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5} }{2}$

⇒ $\frac{3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5} }{2}$

⇒ $\frac{6+0}{2}$

⇒ $\frac{6}{2}$

⇒ $3$

∴ $x+\frac{1}{x}=3$.

Hence proved.

To find:

$x^3+(\frac{1}{x})^3$

Solution:

$x^3+(\frac{1}{x})^3$

$=(\frac{3+\sqrt{5} }{2})^3 +(\frac{3-\sqrt{5} }{2})^3$

⇒ $\frac{(3+\sqrt{5})^3 }{(2)^3}+\frac{(3-\sqrt{5})^3 }{(2)^3}$

⇒ $\frac{(3)^3+(\sqrt{5})^3 +3(3)^2(\sqrt{5})+3(3)(\sqrt{5})^2 }{8}+\frac{(3)^3-(\sqrt{5})^3 -3(3)^2(\sqrt{5})+3(3)(\sqrt{5})^2 }{8}$

$($∵ $(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2, (a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2)$

⇒ $\frac{27+5\sqrt{5} +3(9)(\sqrt{5})+3(3)(5) }{8}+\frac{27-5\sqrt{5} -3(9)(\sqrt{5})+3(3)(5) }{8}$

⇒ $\frac{27+5\sqrt{5} +27\sqrt{5}+45 }{8}+\frac{27-5\sqrt{5} -27\sqrt{5}+45 }{8}$

⇒ $\frac{27+45+5\sqrt{5} +27\sqrt{5} }{8}+\frac{27+45-5\sqrt{5} -27\sqrt{5} }{8}$

⇒ $\frac{72+32\sqrt{5} }{8}+\frac{72-32\sqrt{5} }{8}$

⇒ $\frac{72+32\sqrt{5} +72-32\sqrt{5} }{8}$

⇒ $\frac{72+72+32\sqrt{5} -32\sqrt{5} }{8}$

⇒ $\frac{144+0 }{8}$

⇒ $\frac{144}{8}$

⇒ $18$

∴ $x^3+(\frac{1}{x})^3=18$.

Answer 2

Step-by-step explanation:

this us your answer forif x= 3+√5/2, show that x+1/x=3. also find x cube +1/x cube

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