Question

If x-3 and x-1/3are factors of ax^2+7x+c then ratio of c:a​
please only write proper and valid answer with explanation also

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{(x-3)\;and\;(x-\frac{1}{3})\;are\;facors\;of\;ax^2+7x+c}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The ratio c:a}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Factor theorem:}$

$\boxed{\textsf{(x-a) is a factor of f(x) iff f(a)=0}}$

$\textsf{Let}\;\mathsf{P(x)=ax^2+7x+c}$

$\textsf{Since x-3 is a factor of P(x),}$

$\mathsf{P(3)=0}$

$\mathsf{a(9)+7(3)+c=0}$

$\mathsf{9a+21+c=0}$-------(1)

$\mathsf{Since\;x-\dfrac{1}{3}\;is\;a\;factor \;of\;P(x),}$

$\mathsf{P\left(\dfrac{1}{3}\right)=0}$

$\mathsf{a(9)+7(3)+c=0}$

$\mathsf{\dfrac{a}{9}+\dfrac{7}{3}+c=0}$

$\mathsf{a+21+9c=0}$-------(2)

$\mathsf{(1)-(2)\implies}$

$\mathsf{9a+21+c=0}$-------(1)

$\mathsf{a+21+9c=0}$-------(2)

$\mathsf{8a-8c=0}$

$\mathsf{8a=8c}$

$\mathsf{a=c}$

$\mathsf{\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{1}}$

$\implies\boxed{\mathsf{c:a=1:1}}$

Answer 2

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{(x-3)\;and\;(x-\frac{1}{3})\;are\;facors\;of\;ax^2+7x+c}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The ratio c:a}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Factor theorem:}$

$\boxed{\textsf{(x-a) is a factor of f(x) iff f(a)=0}}$

$\textsf{Let}\;\mathsf{P(x)=ax^2+7x+c}$

$\textsf{Since x-3 is a factor of P(x),}$

$\mathsf{P(3)=0}$

$\mathsf{a(9)+7(3)+c=0}$

$\mathsf{9a+21+c=0}$-------(1)

$\mathsf{Since\;x-\dfrac{1}{3}\;is\;a\;factor \;of\;P(x),}$

$\mathsf{P\left(\dfrac{1}{3}\right)=0}$

$\mathsf{a(9)+7(3)+c=0}$

$\mathsf{\dfrac{a}{9}+\dfrac{7}{3}+c=0}$

$\mathsf{a+21+9c=0}$-------(2)

$\mathsf{(1)-(2)\implies}$

$\mathsf{9a+21+c=0}$-------(1)

$\mathsf{a+21+9c=0}$-------(2)

$\mathsf{8a-8c=0}$

$\mathsf{8a=8c}$

$\mathsf{a=c}$

$\mathsf{\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{1}}$

$\implies\boxed{\mathsf{c:a=1:1}}$