Question

if X = a(20- sin 2°) and (1- cos 2°), find Dy/ DX when °=π/3​

Answer 1

$\huge\mathcal\colorbox{lavender}{{\color{b}{✿Yøur-Añswer♡}}}$

$\large\bf{\underline{\red{VERIFIED✔}}}$

$\bf\huge{\purple{╔════════♡︎═╗}}$

$Given x=a(2θ−sin2θ) and y=a(1−cos2θ) \\ \\ Differentiating x and y w.r.t θ we get \\ \\ \dfrac{dx}{dθ} =2a−2a \: cos \: 2θ and  \dfrac{dy}{dθ} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ =0+2a \: sin \: 2θ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ Using \: chain \: rule, we \: get \\ \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dθ} \times \dfrac{dθ}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ =2a \: sin \: 2θ× \dfrac{1}{2a - 2a \: cos2θ} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = \dfrac{sin \: 2θ}{1 - cos \: 2θ} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ ∵cos2θ=1−2sin ^{2} θ=2cos^{2} θ−1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ ⇒1−cos2θ=2sin ^{2} θ \\ \\ Also, sin \: 2θ=2 \: sin \: θ \: cos \: θ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \\ ⇒ \dfrac{dy}{dx} ∣_θ= \dfrac{π}{3} =cot \times \dfrac{π}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ ⇒ \dfrac{1}{ \sqrt{3} }$

$\bf\huge{\pink{╚═♡︎════════╝}}$

$\boxed{I \:Hope\: it's \:Helpful}$

${\sf{\bf{\blue{@ℐᴛz ᴅɪɴᴜ࿐}}}}$

Answer 2

Answer:

$Given x=a(2θ−sin2θ) and y=a(1−cos2θ)Differentiating x and y w.r.t θ wegetdθdx=2a−2acos2θ and dθdy=0+2asin2θUsingchainrule,wegetdxdy=dθdy×dxdθ=2asin2θ×2a−2acos2θ1=1−cos2θsin2θ∵cos2θ=1−2sin2θ=2cos2θ−1⇒1−cos2θ=2sin2θAlso, sin2θ=2sinθcosθ⇒dxdy∣θ=3π=cot×3π⇒31</p><p></p><p></p><p>$