Question

If x = cot A + cosA and y = cotA - cos A then prove that ( X- Y/x+y) +(x-y /2) squared = 1​

Answer 1

$\large\underline\mathrm{Questions:-}$

• $\: \: \: \: \: x \: = \: cot \: A \: \: + \: \: cos \: A \: \: \: \: and \: \: \: \: y \: \: = \: cot \: A \: \: + \: \: cos \: A, \: \: prove \: \: that \: \: {(\frac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\frac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1}$

$\large\underline\mathrm{Prove \: \: that \: :-}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: {(\frac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\frac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1}$

• $\: \: \: \: \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \frac{\cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A \: - \: \cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A}{cot \: A \: + \: \cancel{cos \: A} \: + \: cot \: A \: - \: \cancel{cos \: A}}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \frac{ \: \cancel{2} \: cos \: A}{ \: \cancel{2} \: cot \: A }$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \frac{ cos \: A}{ cot \: A }$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: \frac{\cancel{cos \: A} \: \times \: sin \: A }{\cancel{cos \: A }}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{x \: + \: y} \: \: = \: \: sin \: A$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\frac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: \: = \: \: {sin \: A }^{2}$

• $\: \: \: \: \: \: \: \: \frac{x \: - \: y}{2}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: \frac{\cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A \: - \: \cancel{cot \: A} \: + \: cos \: A}{2}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: \frac{\cancel{2} \: cos \: A}{ \cancel{2}}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{x \: - \: y}{2} \: \: = \: \: cos \: A$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\frac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {cos \: A}^{2}$

$\large\underline\mathrm{Now \: }$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\frac{x \: - \: y}{x \: + \: y})}^{2} \: + \: {(\frac{x \: - \: y}{2})}^{2} \: \: = \: \: {1}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {sin \: A }^{2} \: + \: {cos \: A}^{2} \: \: = \: \: {1}$

$\large\underline\mathrm{Proved \: }$

$\large\underline{More \: Information:-}$

• $\: \: \: \: \: {Cos}^{2} \theta \: + \: {Sin}^{2} \theta \: \: = \: \: {1}$

• $\: \: \: \: \: {1} \: + \: {tan}^{2} \theta \: \: = \: \: {Sec}^{2} \theta$

• $\: \: \: \: \: {1} \: + \: {Cot}^{2} \theta \: \: = \: \: {Cosec}^{2} \theta$

• $\: \: \: \: \: tan \: {(x \: + \: y)} \: \: = \: \: \frac{tan \: x \: + \: tan \: y}{{1} \: - \: tan \: x \: tan \: y}$

• $\: \: \: \: \: tan \: {(x \: - \: y)} \: \: = \: \: \frac{tan \: x \: - \: tan \: y}{{1} \: + \: tan \: x \: tan \: y}$

• $\: \: \: \: \: Sin \: {2x} \: \: = \: \: {2} \: Sin \: x \: Cos \: x \: \: = \: \: \frac{{2} \: tan \: x}{{1} \: + \: {tan}^{2} \: x}$

• $\: \: \: \: \: tan \: {2x} \: \: = \: \: \frac{{2} \: tan \: x}{{1} \: - \: {tan}^{2} \: x}$

• $\: \: \: \: \: Cos \: x \: + \: Cos \: y \: \: = \: \: {2} \: Cos \: \frac{x \: + \: y}{2} \: Cos \: \frac{x \: - \: y}{2}$

• $\: \: \: \: \: Sin \: x \: + \: Sin \: y \: \: = \: \: {2} \: Sin \: \frac{x \: + \: y}{2} \: Sin \: \frac{x \: - \: y}{2}$

• $\: \: \: \: \: Sin \: x \: - \: Sin \: y \: \: = \: \: {2} \: Cos \: \frac{x \: + \: y}{2} \: Sin \: \frac{x \: - \: y}{2}$