Question

if X equal to P sec theta + q tan theta and Y = P tan theta + q sec theta then prove that x square minus y square equal to p square minus q square​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{x=p\;sec\theta+q\;tan\theta}$

$\mathsf{y=p\;tan\theta+q\;sec\theta}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{x^2-y^2=p^2-q^2}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{x=p\;sec\theta+q\;tan\theta}$-------(1)

$\mathsf{y=p\;tan\theta+q\;sec\theta}$-------(2)

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{x^2-y^2}$

$\mathsf{=(p\;sec\theta+q\;tan\theta)^2-(p\;tan\theta+q\;sec\theta)^2}$

$\textsf{Using the identity}$

$\boxed{\bf\,(a+b)^2=a^2+b^2+2ab}$

$\mathsf{=(p^2sec^2\theta+q^2tan^2\theta+2pq\,sec\theta\,tan\theta)-(p^2tan^2\theta+q^2sec^2\theta+2pq\,sec\theta\,tan\theta)}$

$\mathsf{=p^2sec^2\theta+q^2tan^2\theta+2pq\,sec\theta\,tan\theta-p^2tan^2\theta-q^2sec^2\theta-2pq\,sec\theta\,tan\theta}$

$\mathsf{=p^2sec^2\theta+q^2tan^2\theta-p^2tan^2\theta-q^2sec^2\theta}$

$\mathsf{=(p^2-q^2)sec^2\theta-(p^2-q^2)tan^2\theta}$

$\mathsf{=(p^2-q^2)\,[sec^2\theta-tan^2\theta]}$

$\mathsf{=(p^2-q^2)\,[1]}\;\;\;\;\;\;\;(\because\bf\,sec^2A-tan^2A=1)$

$\mathsf{=p^2-q^2}$

$\implies\boxed{\bf\,x^2-y^2=p^2-q^2}$

#SPJ3