Question

If X is a Poisson variate such that P(X=2)=P(X=3), then P(X=0) is....​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{X is a Poisson variate with P(X=2)=P(X=3)}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of P(X=0)}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{The probability mass function of Poisson distribution is}$

$\mathsf{P(X=x)=\dfrac{e^{-\lambda}{\lambda}^x}{x!}\;\;x=0,1,2,3,\;.\;.\;.}$

$\textsf{As per given data,}$

$\mathsf{P(X=2)=P(X=3)}$

$\mathsf{\dfrac{e^{-\lambda}{\lambda}^2}{2!}=\dfrac{e^{-\lambda}{\lambda}^3}{3!}}$

$\mathsf{\dfrac{{\lambda}^2}{1{\times}2}=\dfrac{{\lambda}^3}{1{\tims}2{\times}3}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{1}=\dfrac{\lambda}{3}}$

$\mathsf{1=\dfrac{\lambda}{3}}$

$\implies\boxed{\mathsf{\lambda=3}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{P(X=0)=\dfrac{e^{-3}3^0}{0!}}$

$\mathsf{P(X=0)=\dfrac{e^{-3}(1)}{1}}$

$\implies\boxed{\boxed{\mathsf{P(X=0)=e^{-3}}}}$