Question

If Y=sin^-1x then show that (1-x^2)Y5-7xY4-9y3=0​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{y=sin^{-1}x}$

$\textbf{To prove:}$

$\mathsf{(1-x^2)y_5-7xy_4-9y_3=0}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{y=sin^{-1}x}$

$\textsf{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{y_1=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

$\mathsf{{y_1}^2=\dfrac{1}{1-x^2}}$

$\mathsf{{y_1}^2(1-x^2)=1}$

$\textsf{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{{y_1}^2(-2x)+(1-x^2)2y_1y_2=0}$

$\mathsf{-xy_1+(1-x^2)y_2=0}$

$\textsf{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-(xy_2+y_1)+(1-x^2)y_3+y_2(-2x)=0}$

$\mathsf{-xy_2-y_1+(1-x^2)y_3-2xy_2=0}$

$\mathsf{-3xy_2-y_1+(1-x^2)y_3=0}$

$\textsf{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-3(xy_3+y_2)-y_2+(1-x^2)y_4+y_3(-2x)=0}$

$\mathsf{-3xy_3-3y_2-y_2+(1-x^2)y_4-2xy_3=0}$

$\mathsf{-5xy_3-4y_2+(1-x^2)y_4-=0}$

$\textsf{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-5(xy_4+y_3)-4y_3+(1-x^2)y_5+y_4(-2x)-=0}$

$\mathsf{-5xy_4-5y_3-4y_3+(1-x^2)y_5-2xy_4=0}$

$\mathsf{Rearranging\;terms\;we\;get}$

$\boxed{\mathsf{(1-x^2)y_5-7xy_4-9y_3=0}}$

Answer 2

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{y=sin^{-1}x}$

$\textbf{To prove:}$

$\mathsf{(1-x^2)y_5-7xy_4-9y_3=0}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{y=sin^{-1}x}$

$\textsf\red{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{y_1=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

$\mathsf{{y_1}^2=\dfrac{1}{1-x^2}}$

$\mathsf{{y_1}^2(1-x^2)=1}$

$\textsf\red{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{{y_1}^2(-2x)+(1-x^2)2y_1y_2=0}$

$\mathsf{-xy_1+(1-x^2)y_2=0}$

$\textsf\red{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-(xy_2+y_1)+(1-x^2)y_3+y_2(-2x)=0}$

$\mathsf{-xy_2-y_1+(1-x^2)y_3-2xy_2=0}$

$\mathsf{-3xy_2-y_1+(1-x^2)y_3=0}$

$\textsf\red{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-3(xy_3+y_2)-y_2+(1-x^2)y_4+y_3(-2x)=0}$

$\mathsf{-3xy_3-3y_2-y_2+(1-x^2)y_4-2xy_3=0}$

$\mathsf{-5xy_3-4y_2+(1-x^2)y_4-=0}$

$\textsf\red{Differentiate with respect to x}$

$\mathsf{-5(xy_4+y_3)-4y_3+(1-x^2)y_5+y_4(-2x)-=0}$

$\mathsf{-5xy_4-5y_3-4y_3+(1-x^2)y_5-2xy_4=0}$

$\mathsf\red{Rearranging\;terms\;we\;get}$

$\boxed{\mathsf{(1-x^2)y_5-7xy_4-9y_3=0}}$