Question

in a triangle abc if tan(A-B/2)=1/3tan (A+B/2) then a:b​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{a:b}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Napier's formula:}$

$\mathsf{In\;\triangle\,ABC,}$

$\boxed{\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}$

$\mathsf{By\;Napier's\;formula,}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{180^\circ-C}{2}\right)}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,tan\left(90^\circ-\dfrac{C}{2}\right)}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,cot\dfrac{C}{2}}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{1}{3}}$

$\mathsf{3a-3b=a+b}$

$\mathsf{3a-a=b+3b}$

$\mathsf{2a=4b}$

$\mathsf{a=2b}$

$\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{1}}$

$\implies\boxed{\mathsf{a:b=2:1}}$

$\textbf{Find more:}$

In triangle abc angle abc = 90 degree and angle acb = 30 degree then find AB:AC

https://brainly.in/question/14086812

In a triangle ABC,if 3angle A =4 angle B =6 angle C then A:B:C=?

https://brainly.in/question/4379969

If in a triangle abc angle a=pi/6 and b:c=2:sqrt3, find angle b

https://brainly.in/question/18930261

Answer 2

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{a:b}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Napier's formula:}$

$\mathsf{In\;\triangle\,ABC,}$

$\boxed{\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}$

$\mathsf{By\;Napier's\;formula,}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,tan\left(\dfrac{180^\circ-C}{2}\right)}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,tan\left(90^\circ-\dfrac{C}{2}\right)}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}\,cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3}\,cot\dfrac{C}{2}}$

$\mathsf{\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{1}{3}}$

$\mathsf{3a-3b=a+b}$

$\mathsf{3a-a=b+3b}$

$\mathsf{2a=4b}$

$\mathsf{a=2b}$

$\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{1}}$

$\implies\boxed{\mathsf{a:b=2:1}}$