Question

In a triangle abc prove that sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc

Answer 1

$\underline{\textsf{To prove:}}$

$\mathsf{In\;\triangle\;ABC}$

$\mathsf{sin2A+sin2B+sin2C=4\;sinA\;sinB\;sinC}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{sin2A+sin2B+sin2C}$

$\mathsf{Using,}$

$\boxed{\mathsf{sinC+sinD=2\,sin\left(\dfrac{C+D}{2}\right)\,cos\left(\dfrac{C-D}{2}\right)}}$

$\mathsf{=2\,sin\left(\dfrac{2A+2B}{2}\right)\,cos\left(\dfrac{2A-2B}{2}\right)+sin2C}$

$\mathsf{=2\,sin(A+B)\,cos(A-B)+sin2C}$

$\mathsf{Using,}\;\\\boxed{\mathsf{A+B+C=180^{\circ}}}\\\boxed{\mathsf{sin2A=2\,sinA\,cosA}}$

$\mathsf{=2\,sin(180^{\circ}-C)\,cos(A-B)+2\,sinC\,cosC}$

$\mathsf{=2\,sinC\,cos(A-B)+2\,sinC\,cosC}$

$\mathsf{=2\,sinC\,[cos(A-B)+cosC]}$

$\mathsf{=2\,sinC\,[cos(A-B)+cos(180^{\circ}-(A+B))]}$

$\mathsf{=2\,sinC\,[cos(A-B)-cos(A+B)]}$

$\mathsf{Using,\;}\;\boxed{\mathsf{cos(A-B)+cos(A+B)=2\,sinA\,sinB}}$

$\mathsf{=2\,sinC\,[2\,sinA\,sinB]}$

$\mathsf{=4\,sinA\,sinB\,sinC}$

$\implies\boxed{\mathsf{sin2A+sin2B+sin2C=4\;sinA\;sinB\;sinC}}$

$\underline{\textsf{Find more:}}$

If A+B+C = 180, prove that: CosA + Cos B + cos C = 1+4sinA/2 sinB/2 sinC/2

https://brainly.in/question/15268184