Question

in a triangle
abc r3=r1+r2+r then angle A+B=

Answer 1

Given: $r_{3}=r_{1}+r_{2}+r$

To find: $\angle A+\angle B$

Solution:

We know that, for $\Delta ABC$,

• $r=4R\:sin\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}$

• $r_{1}=4R\:sin\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}$

• $r_{2}=4R\:cos\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}$

• $r_{3}=4R\:cos\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}$

where $R$ is the circum-radius.

Now, $r_{3}=r_{1}+r_{2}+r$

$\Rightarrow 4R\:cos\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}=4R\:sin\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+4R\:cos\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+4R\:sin\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}$

$\Rightarrow cos\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}=sin\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+sin\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}$

$\Rightarrow cos\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}-cos\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}=sin\frac{A}{2}\:cos\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+sin\frac{A}{2}\:sin\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}$

$\Rightarrow cos\frac{A}{2}\:(cos\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2})=sin\frac{A}{2}\:(cos\frac{B}{2}\:cos\frac{C}{2}+sin\frac{B}{2}\:sin\frac{C}{2})$

$\Rightarrow -cos\frac{A}{2}\:sin(\frac{B}{2}-\frac{C}{2})=sin\frac{A}{2}\:cos(\frac{B}{2}-\frac{C}{2})$

$\Rightarrow sin\frac{A}{2}\:cos(\frac{B}{2}-\frac{C}{2})+cos\frac{A}{2}\:sin(\frac{B}{2}-\frac{C}{2})=0$

$\Rightarrow sin(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}-\frac{C}{2})=0$

$\Rightarrow sin(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}-\frac{C}{2}=sin0$

$\Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}-\frac{C}{2}=0$

$\Rightarrow A+B-C=0$

$\Rightarrow A+B+A+B-\pi=0$

$\Rightarrow 2\:(A+B)=\pi$

$\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}$

Answer: $\angle A+\angle B=\frac{\pi}{2}$