Question

In an isosceles triangle ABC: AB=AC=10cm and BC =18cm FIND, i) sin[sq ] B+cos[sq ]C ii)tan[sq ]C-sec[sq ]B+2.

Answer 1

see answer in image

Answer 2

( i ) sin²B + cos²C = 1.

( ii ) tan²C - sec²B + 2 = 1.

Given

In an isosceles ΔABC,

Where,  AB = AC = 10 cm

                      BC = 18 cm

To find the values for, ( i ) sin²B + cos²C

                                     ( ii ) tan²C - sec²B + 2

Steps :

(a) Find altitude of corresponding angles

(b) Find the area of ΔABC by using Heron's formula

(c) Find the area of triangle

(d) Use pythagoras theorem

(e) Find trignometric values

Substitution :

(a) Finding the altitude of corresponding angles :

    Semi-perimeter, s =$\frac{a+b+c}{2}$

                Here, a = 10 cm

                          b = 10 cm

                          c = 18 cm

                          s = $\frac{10 +10+18}{2}$ = $\frac{38}{2}$

                          s = 19 cm

     Altitude  = 19 cm.

(b) Finding the area of ΔABC by using Heron's formula :

    Area of ΔABC = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

                             = $\sqrt{19(19-10)(19-10)(19-18)}$

                             = $\sqrt{19(9)(9)(1)}$

                             = $\sqrt{(81)(19)}$

                             = 9√19 cm²  

(c) Finding the area of triangle :

    Area of ΔABC = $\frac{1}{2}$ × b × h

                 Base, BC = 18 cm

                Height, AD = 19 cm

      Area of ΔABC = $\frac{1}{2}$ × 18 × AD

                              = 9√19 cm   ( AD = √19 cm )

(d) Using pythagoras theorem :

     In ΔABD,  AB² = AD² + BD²

                       10² = (√19)² + BD²

                      100 = 19 + BD²    

                        BD² = 19 - 100

                        BD² = - 81

                        BD = √(-81)

                        BD = 9 cm

Where as, BD = 9 cm and CD = 9 cm.

(e) Finding trignometric values :

            $\begin{equation}\begin{aligned}\sin B &=\frac{\text { Perpendicular }}{\text {Hypotenuse}} \\&=\frac{A D}{A B} \\&=\frac{\sqrt{19}}{10}\end{aligned}\end$                 $\begin{equation}\begin{aligned}\sec B &=\frac{\text {Hypotenuse}}{B a s e} \\&=\frac{A B}{B D} \\&=\frac{10}{9}\end{aligned}\end$

           $\begin{equation}\begin{aligned}\cos C &=\frac{B a s e}{\text {Hypotenuse}} \\&=\frac{C D}{A C} \\&=\frac{9}{10}\end{aligned}\end$                         $\begin{equation}\begin{aligned}\tan C &=\frac{\text {Perpendicular}}{\text {Base}} \\&=\frac{A D}{C D} \\&=\frac{\sqrt{19}}{9}\end{aligned}\end$

( i ) sin²B + cos²C

                             = $(\frac{\sqrt{19} }{10} )^{2} + (\frac{9}{10} )^2$

                             = $\frac{19}{100}+\frac{81}{100}$

                             = $\frac{100}{100}$

                     sin²B + cos²C = 1.

( ii )  tan²C - sec²B + 2

                                  = $[(\frac{\sqrt{19} }{9} )^2- (\frac{10}{9} )^2] + 2$

                                  = $[(\frac{\sqrt{19} }{9})^2 - (\frac{10}{9})^2 ] + 2$

                                  = $[\frac{19}{81} -\frac{100}{81}]+2$

                                  = $[\frac{-81}{81}] +2$

                                  = -1 + 2

      tan²C - sec²B + 2 = 1.

To learn more...        

brainly.in/question/497570