Question

In n is a natural number, for which real numbers is the inequality (1 + x)^n > 1 + nx

​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{n>1 is a natural number and x > 0 is a real number}$

$\textbf{To prove:}$

$\mathsf{(1+x)^n\,>\,1+nx}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{f(x)=(1+x)^n-1-n\,x}$

$\mathsf{f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n}$

$\mathsf{For\,x\,>\,0,\;f'(x)\,>\,0}$

$\therefore\mathsf{f(x)\;is\;a\;strictly\;increasing\;function}$

$\mathsf{Since\;f(x)\;is\;a\;strictly\;function,}$

$\mathsf{x\,>\,0\;\;\implies\;f(x)\,>\,f(0)}$

$\implies\mathsf{(1+x)^n-1-nx\,>\,1-1}$

$\implies\mathsf{(1+x)^n-1-nx\,>\,0}$

$\implies\boxed{\mathsf{(1+x)^n\,>\,1+nx}}$

Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

x<